Ένας σκύλος στέκεται στο δυτικότερο σημείο μιας λίμνης με ακτίνα $120$ μέτρα, όταν βλέπει μια πάπια να περνάει απέναντι.
Αν κολυμπήσει μέχρι το σημείο $Β$ σε ευθεία και τρέξει γύρω από τη λίμνη από το $Β$ στο $Γ$ (αντιδιαμετρικό του $Α$), να βρείτε τη γωνία $θ$, η οποία θα ελαχιστοποιήσει το χρόνο που χρειάζεται για να φτάσει στην πάπια.
Αν το καταλαβαίνω σωστά, το Γ είναι αντιδιαμετρικό του Α, ο δε σκύλος κολυμπάει κατά μήκος της χορδής ΑΒ και στη συνέχεια τρέχει κατά μήκος του τόξου ΒΓ. Για να επιλέξει όμως ο σκύλος κολύμβηση έναντι τρεξίματος, θα πρέπει το μήκος κολύμβησης, δηλαδή η χορδή ΑΒ, να είναι μικρότερη από το 1/2 του μήκους τρεξίματος που γλυτώνει, δηλαδή το 1/2 του τόξου ΑΒ (με δεδομένες τις αντίστοιχες ταχύτητες). Αλλά ο λόγος μήκους χορδής προς το μήκος του αντίστοιχου τόξου είναι τουλάχιστον 2r/πr=2/π, που είναι μεγαλύτερο από 1/2.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαταλήγω επομένως ότι ο σκύλος θα τρέξει ολόκληρο το ημικύκλιο ΑΓ και θα φτάσει την πάπια σε 120π/12=10π sec (31,4 sec περίπου), που είναι ο ελάχιστος, άρα βέλτιστη θ=0°.