Ο Άντρέας και ο Μάριος όταν κινούνται με τα πόδια έχουν ταχύτητες $υ_Α=1$ km/ℎ και $υ_Μ=2$ km/ℎ αντίστοιχα.
Ο Κώστας όταν χρησιμοποιεί το ηλεκτρικό του ποδήλατο κινείται με ταχύτητα $υ_Κ= 8$ km/ℎ.
Οι τρεις φίλοι ξεκινούν ταυτόχρονα. Ο Κώστας παίρνει τον Αντρέα μαζί του με το ποδήλατο μέχρι κάποια απόσταση, τον αφήνει να περπατήσει το υπόλοιπο της διαδρομής και επιστρέφει πίσω, συναντά τον Μάριο και τον μεταφέρει στον προορισμό τους, όπου φτάνουν όλοι ταυτόχρονα.
Να βρείτε πόσο χρόνο χρειάστηκαν για να φτάσουν στον προορισμό τους.
(Θεωρούμε ότι οι κινήσεις με τα πόδια και το ποδήλατο γίνονται με σταθερές ταχύτητες σε όλη τη διαδρομή.)
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ
ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2022
Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αν ο Κώστας κατέβασε από το ποδήλατο τον Ανδρέα ψ χμ από την αφετηρία και ανέβασε το Μάριο στο ποδήλατο χ χμ από την αφετηρία, τότε:
ΑπάντησηΔιαγραφήΧρόνος Ανδρέα: ψ/8+40-ψ ώρες
Χρόνος Μάριου: χ/2+(40-χ)/8 ώρες
Χρόνος Κώστα: ψ/8+(40-χ)/8+(ψ-χ)/8 ώρες
Οι τρεις χρόνοι είναι ίσοι, οπότε:
χ=560/41, ψ=1400/41 και έφτασαν όλοι στο τέρμα σε 10,12 ώρες περίπου.
Σε 10 και 5/41 ώρες ακριβώς, αν προτιμάτε.
ΔιαγραφήΧρειάστηκαν 10 ώρες 12 λεπτά για να φτάσουν στον προορισμό τους. Έστω Γ το σημείο στο οποίο ο Κώστας αφήνει τον Αντρέα και Δ το σημείο που παίρνει τον Μάριο, ο οποίος έχει περπατήσει μια απόσταση x, για να πάνε μαζί στον προορισμό τους.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔιαδρομή Αντρέα:
ΑΓ=x χλμ. ΓΒ=(40-x) χλμ.
υ=8 χλμ./ω. Κώστα υ=1 χλμ./ω. Ανδρέα
t=x/8 ώρες Κώστα t=(40-x)/1 ώρες Ανδρέα
Ο Αντρέας χρειάστηκε:
x/8+(40-x)/1=[1*x+8*(40-x)]/8=(x+320-8x)/8=(320-7x)/8 (1)
για να φτάσει στον προορισμό του.
Διαδρομή Μάριου:
ΑΔ=y χλμ. ΔΒ=40-Y χλμ.
υ=2 χλμ./ω. Μάριου υ=8 χλμ./ω.
t=y/8 ώρες Κώστα t=(40-y)/8 ώρες
Ο Αντρέας χρειάστηκε:
y/2+(40-y)/8=(4*y+40-y)/8=(4y+40-y)/8=(3y+40)/8 ώρες για να φτάσει στον προορισμό του.
Ο Κώστας για να φτάσει στον προορισμό του έκανε τις διαδρομές ΑΓ-ΓΔ-ΔΒ με σταθερή ταχύτητα 8 χλμ./ω.
ΑΓ-ΓΔ-ΔΒ=x+(x-y)+(40-y)=2x-2y+40 χλμ. (2)
Ο Μάριος χρειάστηκε:
(2x-2y+40)/8 ώρες (3)
για να φτάσει στον προορισμό του.
Επειδή και οι τρεις έφτασαν ταυτόχρονα στο προορισμό τους έχουμε τις ισότητες:
(320-7x)/8=(3y+40)/8=(2x-2y+40)/8 (4)
Διαιρούμε τις ισότητες της (4) με το 8 κι’ έχουμε:
(320-7x):8/8=(3y+40):8/8=(2x-2y+40):8/8 ===
320-7x=3y+40=2x-2y+40
280-7x=3y=2x-2y
3y=2x-2y === 3y+2y-2x=0 === 5y-2x=0 === 5y=2x === y=2x/5 (5)
320-40-7x=3y === 280-7x=3y === 7x+3y=280(6)
Αντικαθιστούμε τη (5) στην (6) κι΄ έχουμε:
7x+3y=280 === 7x+3*2x/5=280 === 5*7x+3*2x=280*5 === 35x+6x=1.400 === 41x=1.400 === x=1.400/41 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (5) κι΄ έχουμε:
y=2x/5 === y=2*(1.400/41)/5 === y=(2.800/41)/5 === y=(2.800:5)/41 === y=560/41 (8)
Επομένως για να φτάσουν στον προορισμό τους χρειάστηκαν:
(3y+40)/8=3y/8+40/8=3y/8+5=3/8*(560/41)+5=(3*70)/41+5=210/41+5=(210+5*4)/41=(210+205)/41=415/41=10,12 ώρες
Αναλυτική παράσραση της διαδρομής όρα εδώ:
https://imgur.com/a/GdxPEr8
Διόρθωση:
ΑπάντησηΔιαγραφή10,12 ώρες περίπου ή 10 και 5/41 ώρες ακριβώς
Γεια σου Κάρλο ανυπέρβλητε! Με τις αναλυτικές παραστάσεις σου τα 'Διασκεδαστικά μαθηματικά' ανεβαίνουν κάμποσα επίπεδα..😀
ΔιαγραφήΗ Παρακαταθήκη για τις επόμενες γενιές!! 😀😀😀
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο φάρμακο για το brain drain πες καλύτερα..🎃
Διαγραφή