Κάθε εργάσιμη μέρα, όταν η Ευθυμία φτάνει στο γραφείο, κάνει ένα από τα εξής: είτε λέει «Καλημέρα» στους συναδέλφους της ή δεν λέει τίποτα στους συναδέλφους της.
Την Δευτέρα, η Ευθυμία είπε «Καλημέρα» στους συναδέλφους της.
Εάν κάθε επόμενη μέρα υπάρχει $75$% πιθανότητα να επαναλάβει τη συμπεριφορά της προηγούμενης ημέρας, ποια είναι η πιθανότητα την Παρασκευή η ευθυμία να πει «Καλημέρα» στους συναδέλφους της;
Επιχειρώ μία γενική λύση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν τη ν-οστή μέρα μετά από τη Δευτέρα, A είναι η πιθανότητα να πει την 'καλημέρα' και Β η πιθανότητα να μην την πει, έχουμε Α+Β=1 (1).
Αν τώρα πάρουμε το διωνυμικό ανάπτυγμα της παράστασης (3/4-1/4)^ν, βλέπουμε ότι οι θετικοί του όροι είναι οι πιθανότητες που αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα να την πει και οι αρνητικοί του όροι στα ενδεχόμενα να μην την πει.
Επομένως Α-Β=(3/4-1/4)^ν => Α-Β=(1/2)^ν (2).
Από τις (1) και (2) έπεται:
Α=[1+(1/2)^ν]/2, Β=[1-(1/2)^ν]/2
Στην περίπτωσή μας:
ν=4 => Α=[1+(1/2)^4]/2=17/32