Τετάρτη 29 Μαρτίου 2023

$AR·BQ = PI^2$

Στο τρίγωνο $ABC$, το σημείο $I$ είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Θεωρούμε τον κύκλο που διέρχεται από το $B$ που εφάπτεται στην ευθεία $AI$ στο $I$. Ο κύκλος αυτός τέμνει την πλευρά $AB$ στο $P$, και την πλευρά $BC$ στο $Q$. 
Η ευθεία $QI$ τέμνει την πλευρά $AC$ στο σημείο $R$. 
Να αποδείξετε ότι 
$AR·BQ = PI^2$.
(Netherlands Team Selection Test for BxMO/EGMO 2014)

1 σχόλιο:

  1. Τα τρίγωνα API, ARI είναι ίσα (απλό..)=> AP=AR (1)
    Τα τρίγωνα API, IQB είναι όμοια (εύκολο..) =>
    AP/PI=PI/BQ => AP*BQ=PI^2 => από (1) AR*BQ=PI^2 q.e.d

    ΑπάντησηΔιαγραφή