Στο τρίγωνο $ABC$, το σημείο $I$ είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Θεωρούμε τον κύκλο που διέρχεται από το $B$ που εφάπτεται στην ευθεία $AI$ στο $I$. Ο κύκλος αυτός τέμνει την πλευρά $AB$ στο $P$, και την πλευρά $BC$ στο $Q$.
Να αποδείξετε ότι
$AR·BQ = PI^2$.
(Netherlands Team Selection Test for BxMO/EGMO 2014)
Τα τρίγωνα API, ARI είναι ίσα (απλό..)=> AP=AR (1)
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα τρίγωνα API, IQB είναι όμοια (εύκολο..) =>
AP/PI=PI/BQ => AP*BQ=PI^2 => από (1) AR*BQ=PI^2 q.e.d