Ο Πέτρος περπατάει μέσα σε ένα τούνελ τρένου όταν ακούει ένα τρένο να πλησιάζει. Ξέρει ότι σε αυτό το
τμήμα της γραμμής τα τρένα ταξιδεύουν με $60$ μίλια την ώρα. Η σήραγγα έχει ισαπέχουσες θέσεις σήμανσης, με τη θέση $0$ στο το ένα άκρο και την θέση $12$ στο άλλο άκρο.
Ο Πέτρος βρίσκεται στην θέση $7$ όταν ακούει το τρένο. Σκέφτεται γρήγορα ότι είτε τρέξει προς το κοντινότερο είτε προς το μακρύτερο άκρο της σήραγγας όσο πιο γρήγορα μπορεί (με σταθερή ταχύτητα) θα βγει από το τούνελ πριν τον φτάσει το τρένο.
Πόσο γρήγορα πρέπει να τρέξει ο Πέτρος;
Αν ο Πέτρος κινηθεί προς στο τρένο, θα διανύσει τα τελευταία 5/12 του τούνελ και θα βγαίνει από αυτό όταν το τρένο μπαίνει. Αν πάλι ο Πέτρος κινηθεί μακριά από το τρένο, θα έχει διανύσει πάλι 5/12 όταν το τρένο μπαίνει στο τούνελ και θα έχει να διανύσει τα τελευταία 2/12 του τούνελ όταν το τρένο έχει να διανύσει 12/12 για να τον συναντήσει όταν βγαίνει. Επομένως ο Πέτρος πρέπει να τρέξει με ταχύτητα 2/12 της ταχύτητας του τρένου, δηλ. 2/12*60=10 μίλια την ώρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ ταχύτητα του τρένου είναι 6 φορές μεγαλύτερη της ταχύτητας του Πέτρου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω:
ω = η απόσταση του τρένου από την είσοδο «Α».
α = Το μήκος του τούνελ.
υ = Η ταχύτητα του Πέτρου..
V = Η ταχύτητα του τρένου.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α) Σύμφωνα με το τύπο της ομαλής ευθύγραμμης κίνησης S = t*υ ο Πέτρος για να φθάσει στην είσοδο «Α» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ == t = S/υ === t = 7α/12υ (1)
β) Το τρένο για να φθάσει στην είσοδο «Α» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ == t = S/υ === t = ω/V (2)
Εφόσον φθάνουν και οι δύο συγχρόνως στην είσοδο «Α» οι χρόνοι και των δύο είναι ίσοι, οπότε έχουμε:
7α/12υ/ ω/V (3)
γ) Για να φθάσει ο Πέτρος στην έξοδο «Β» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ t =S/υ === t = 5α/12υ (4)
δ) Για να φθάσει το τρένο στην έξοδο «Β» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ t =S/υ === t = (ω+α)/V (5)
Εφόσον φθάνουν και οι δύο συγχρόνως στην έξοδο «Β» οι χρόνοι και των δύο είναι ίσοι, οπότε έχουμε:
5α/12υ/(ω+α)/V (6)
Από τ’ ανωτέρω έχουμε:
7α/12υ/5α/12υ= ω/V/(ω+α)/V
7α*12υ/5α*12υ=V*ω/V*(ω+α)
7/5 = ω/(ω+α) === 7*(ω+α) = 5ω
7ω+7α=5ω ==7α=7ω-5ω ===7α=2ω ===
α=2ω / 7 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (3) κι’ έχουμε:
7α/12υ/ ω/V ===
7*(2ω/7)/12υ=ω/V === 2ω/12υ=ω/V ===
2ω*V=12υ*ω === V=12υ*ω/2ω === V=6υ (8)
Άρα η ταχύτητα του τρένου είναι 6 φορές μεγαλύτερη της ταχύτητας του Πέτρου
V(τρένου)=6*υ (Πέτρου) === 60Km/h=6*υ ==== υ=60/6 ==== υ=10Km/h (Πέτρου)
Για την εικόνα όρα εδώ:
https://imgur.com/a/uqldJCZ
Συμπληρωματικά:
ΑπάντησηΔιαγραφήV(τρένου)=6*υ (Πέτρου) === 60Km/h=6*υ ==== υ=60/6 ==== υ=10Km/h (Πέτρου) (9)
Και για να ολοκληρωθεί η λύση η απόσταση του τρένου από το σημείο "Α", είσοδος του τούνελ είναι:
α=(2*ω)/7 ====> 12=(2*ω)/7 ====>
12*7=2*ω ===> ω=(12*7)/2 =====>
ω=6*7 =====> ω=42μ.(10)
Μια διευκρίνιση παρακαλώ, Κάρλο: 42 μ; 42 Km; 42 μίλια; 42 υποδιαστήματα του τούνελ, ή τίποτε από τα παραπάνω;☺
ΔιαγραφήΣοβαρά τώρα:
ΔιαγραφήΗ αρχική απόσταση τρένου από την είσοδο Α του τούνελ είναι 30 υποδιαστήματα (ούτε μ, ούτε οτιδήποτε άλλο). Βγάζεις 42, επειδή έχεις λάθος τις αποστάσεις στο σχήμα σου: ο Πέτρος απέχει αρχικά 5α/2 από την είσοδο Α και όχι 7α/2. Επομένως στο χρόνο που ο Πέτρος διανύει τα 5 υποδιαστήματα μέχρι την Α, το τρένο διανύει 6*5=30 υποδιαστήματα μέχρι την Α.
5α/12, 7α/12..
ΔιαγραφήΘανάση, η "Α" είναι η είσοδος του τρένου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ εκφώνηση λέει:
"Η σήραγγα έχει ισαπέχουσες θέσεις σήμανσης, με τη θέση 0 στο το ένα άκρο και την θέση 12 στο άλλο άκρο."
Δηλαδή:
Το σημείο Α είναι 0 και το σημείο "Β" είναι 12. 'Αρα ο Πέτρος, εφόσον βρίσκεται στη θέση 7, απέχει από το σημείο εισόδου "Α" του τούνελ 7α/12
Όσον αφορά την απόσταση, έχεις δίκιο είναι υποδιαστήματα.
Ξέρω τι λέει η εκφώνηση Κάρλο, εσύ δεν την κατάλαβες. Ο Πέτρος απέχει από έξοδο του τούνελ 5 υποδιαστήματα από τη μεριά που έρχεται το τρένο (αλλιώς δεν μπορεί να ισχύουν τα δεδομένα της εκφώνησης). Αυτή την έξοδο, που στο σχήμα σου ονόμασες σημείο Α, το τρένο απέχει αρχικά 30 υποδιαστήματα.
ΔιαγραφήΜιχάλη, εσύ τι λες;;😄
ΔιαγραφήΔηλαδή τελικά στο σχήμα τέθηκαν ανάποδα. Εντάξει , διορθώνω το σχήμα. Για το σχήμα όρα εδώ:
ΑπάντησηΔιαγραφήhttps://imgur.com/a/cCynWpQ
Η ταχύτητα του τρένου είναι 6 φορές μεγαλύτερη της ταχύτητας του Πέτρου.
Έστω:
ω = η απόσταση του τρένου από την είσοδο «Α».
α = Το μήκος του τούνελ.
υ = Η ταχύτητα του Πέτρου..
V = Η ταχύτητα του τρένου.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α) Σύμφωνα με το τύπο της ομαλής ευθύγραμμης κίνησης S = t*υ ο Πέτρος για να φθάσει στην είσοδο «Α» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ == t = S/υ === t = 5α/12υ (1)
β) Το τρένο για να φθάσει στην είσοδο «Α» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ == t = S/υ === t = ω/V (2)
Εφόσον φθάνουν και οι δύο συγχρόνως στην είσοδο «Α» οι χρόνοι και των δύο είναι ίσοι, οπότε έχουμε:
5α/12υ/ ω/V (3)
γ) Για να φθάσει ο Πέτρος στην έξοδο «Β» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ == t =S/υ === t = 7α/12υ (4)
δ) Για να φθάσει το τρένο στην έξοδο «Β» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ == t =S/υ === t = (ω+α)/V (5)
Εφόσον φθάνουν και οι δύο συγχρόνως στην έξοδο «Β» οι χρόνοι και των δύο είναι ίσοι, οπότε έχουμε:
7α/12υ/(ω+α)/V (6)
Από τ’ ανωτέρω έχουμε:
5α/12υ/7α/12υ= ω/V/(ω+α)/V
5α*12υ/7α*12υ=V*ω/V*(ω+α)
5/7 = ω/(ω+α) === 5*(ω+α) = 7ω
5ω+5α=7ω ==5α=7ω-5ω ===5α=2ω === α=2ω/5 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (3) κι’ έχουμε:
5α/12υ/ ω/V === 5*(2ω/5)/12υ=ω/V ==== 2ω/12υ=ω/V === 2ω*V=12υ*ω ===
V=12υ*ω/2ω === V=6υ (8)
Άρα η ταχύτητα του τρένου είναι 6 φορές μεγαλύτερη της ταχύτητας του Πέτρου
V(τρένου)=6*υ (Πέτρου) === 60Km/h=6*υ ==== υ=60/6 ==== υ=10Km/h (Πέτρου) (9)
Η απόσταση του τρένου από το σημείο "Α", είσοδος του τούνελ είναι:
α=2*ω/5 === 12=2*ω/5 === ω=12*5/2 === ω=60/2 === ω=30 υποδιαστήματα (10)
Ελπίζω αυτή τη φορά να είναι σωστή η λύση.😀😀
Ναι, αυτή τη φορά είναι νομίζω σωστή, αν και μοιάζει πολύ με την ..τελική😀
Διαγραφή