Παράγωγος απόλυτης τιμής

Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης

$$f(χ) =| χ | ^5$$

Η απάντηση να δοθεί με τον πιο πάνω τύπο, χωρίς να μετατραπεί σε κλαδική συνάρτηση.

Απάντηση:

Γνωρίζουμε ότι

$|x|=\sqrt{x^2},$

οπότε 

$|x^5|=\sqrt{x^{10}}.$

Επομένως έχουμε 

$|x^5|'=\dfrac{10x^9}{2\sqrt{x^{10}}}=\dfrac{5x^9}{|x|^5}=$

$=5\dfrac{x^9}{x^4|x|}=5\dfrac{x^5}{|x|}=5\dfrac{|x|^4x}{|x|}=5x|x^3|$.