Δίνεται η συνάρτηση \(𝑓(𝑥)=𝑥^4+𝜅𝑥−1\), με \(𝜅\in \Bbb{R}.\)
α) Να βρείτε την τιμή του \(𝜅\in \Bbb{R}\) για την οποία \(𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)\), για κάθε \(x\in \Bbb{R}.\)
(Μονάδες 6)β) Για \(𝜅=0\),
- να δείξετε ότι η συνάρτηση \(𝑓\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \((−∞,0]\)(Μονάδες 6)
- να δείξετε ότι \(𝑓(𝑥)≥−1\) για κάθε \(x\in \Bbb{R}\)(Μονάδες 6)
- να βρείτε τα \(x\in \Bbb{R}\) για τα οποία η γραφική παράσταση της \(𝑓\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \(𝑥'𝑥.\)(Μονάδες 7)
α.Μη ύπαρξη περιττού βαθμού όρων, άρα κ=0.
ΑπάντησηΔιαγραφήβ.i.Αν $x_{1}$<$x_{2}$ στο εν λόγω διάστημα άρα $x_{1}^{4}$-1>$x_{2}^{4}$-1, f γν.φθ.
ii.To min της f από μονοτονία το f(0)=-1.
iii.Στους αρνητικούς ρίζα το -1, άρα f(x)<0<=>x>-1 και λόγω συμμετρίας ως προς y, λύσεις το (-1,1).