Πέμπτη 9 Φεβρουαρίου 2023

Μεγαλύτερο ή ίσο του 2

Έστω \(\displaystyle a\) και \(\displaystyle b\) θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε  
\(\displaystyle a^2+b^2=\frac{2}{9}\).
Να αποδείξετε ότι 
\(\displaystyle \frac{1}{2-3a}+\frac{1}{2-3b} \ge 2. \)
Αναρτήθηκε από στις 9.2.23
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. kfd12 Φεβρουαρίου 2023 στις 1:13 μ.μ.

    Οι 2-3a,2-3b θετικοί από $a^{2}=\dfrac{2}{9}-b^{2}\geqslant0$ άρα b<$\dfrac{2}{3}$.
    Aπό ΑΜ$\geqslant$GM το 1ο μέλος της ζητούμενης είναι μεγαλύτερο ίσο από
    $\dfrac{2}{\sqrt{4-6(a+b)+9ab}}$.
    H υπόρριζη είναι μεγαλύτερη ίση 1 γιατί
    4-6(a+b)+9ab$\geqslant$1<=>
    $(3a+3b-2)^{2}\geqslant0$ με χρήση της δεδομένης.
    Άρα το 1ο μέλος της ζητούμενης είναι μεγαλύτερο ίσο του 2, αφού το $\dfrac{2}{\sqrt{4-6(a+b)+9ab}}$ είναι μικρότερο ίσο 2.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)