Σας δίνεται οποιοδήποτε σύνολο $100$ ακεραίων αριθμών στο οποίο κανένας από τους ακεραίους αριθμούς δεν είναι διαιρείται με το $100$.
Αποδείξτε ότι είναι δυνατόν να επιλέξετε ένα υποσύνολο αυτού του συνόλου των $100$ ακεραίων αριθμών έτσι, ώστε το άθροισμά τους να είναι πολλαπλάσιο του $100$.
Βάζουμε σε μία σειρά τους 100 ακεραίους και έστω:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑ1: 1ος
Α2: 1ος+2ος
Α3: 1ος+2ος+3ος
.....
Α100: 1ος+2ος+3ος+..+100ός
Αν υπάρχει Ακ που διαιρείται με το 100, βρήκαμε το υποσύνολο που θέλαμε.
Αν όχι, τότε όλοι έχουν υπόλοιπα διαίρεσης με το 100 από 1 έως 99, επομένως υπάρχουν δύο με το ίδιο υπόλοιπο, άρα η διαφορά τους διαιρείται με το 100, οπότε πάλι βρέθηκε το υποσύνολο, ό.έ.δ.