Έστω τρίγωνο $ABC$ και έστω $BB_1$, $CC_1$ οι διχοτόμοι των γωνιών $∠B, ∠C$. Έστω $E, F$ τα ίχνη των καθέτων των καθέτων από το $A$ στα τμήματα $BB_1$, $CC_1$ αντίστοιχα.
Ας υποθέσουμε ότι $D$ είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του $ABC$ επί της πλευράς $AB$.
Να αποδείξετε ότι $AD = EF$.
Τα σημεία A,F,D,I ανήκουν στον ίδιο κύκλο διαμέτρου AI και τα σημεία A,F,I,E ανήκουν στον ίδιο κύκλο διαμέτρου AI, άρα τα σημεία A,F,D,I,E ανήκουν στον ίδιο κύκλο διαμέτρου AI. Επομένως παίρνουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφήγ. DFI=γ. DAI=γ.BAC/2 (1)
γ. FIB=γ. ABC/2 +γ. ACB/2=90-γ. BAC/2 (2)
Από (1) και (2) προκύπτει ότι η FD είναι κάθετη στην BB1. Όμως και η AE είναι κάθετη στην BB1 , οπότε έχουμε την παραλληλία FD//AE. Δηλαδή το τετράπλευρο AFDE είναι τραπέζιο και ταυτόχρονα εγγράψιμο, επομένως είναι ισοσκελές τραπέζιο με άμεση συνέπεια να έχει ίσες διαγώνιες , συνεπώς AD=EF, όπως θέλαμε!
Σωκράτη, δική σου κατασκευή;
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλημέρα, Μιχάλη ! όχι
Διαγραφή