Ένας ποδοσφαιρικός αγώνας μεταξύ ομάδων των εν ενεργεία μαθηματικών και των συνταξιούχων μαθηματικών παίζεται σε ένα στάδιο που έχει μια ορθογώνια διάταξη θέσεων για τους θεατές.
Υπάρχουν $11$ υποστηρικτές των εν ενεργεία μαθηματικών σε κάθε σειρά και $14$ υποστηρικτές των συνταξιούχων σε κάθε στήλη. Αυτό αφήνει $17$ κενές θέσεις.
Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός θέσεων στο γήπεδο;
α) $500$ β) $660$ γ) $690$ δ) $840$ ε) $994$
KANGOUROU MATH COMPETITION 2022, ΕΠΙΠΕΔΟ 11-12
Το μήκος της σειράς είναι τουλάχιστον 11 θέσεις και το μήκος της στήλης τουλάχιστον 14 θέσεις, άρα η κερκίδα έχει τουλάχιστον 14 σειρές και τουλάχιστον 11 στήλες.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν λοιπόν η κερκίδα έχει μ σειρές (μ≥14) και ν στήλες (ν≥11), αναζητούμε το ελάχιστο γινόμενο μν ώστε να ικανοποιείται η ισότητα:
11μ+14ν=μν-17 (1)
Από τους προτεινόμενους αριθμούς, ο 500 εκφράζεται μεν ως γινόμενο μν=20*25 που ικανοποιεί τους περιορισμούς για μ, ν, αλλά με κανέναν τρόπο δεν ικανοποιεί την (1).
Ο αμέσως μεγαλύτερος 660 μπορεί να προκύψει ως γινόμενο των μ=33, ν=20 που ικανοποιούν και τους περιορισμούς και την (1).
Επομένως επιλέγουμε το 660 (β).