Διαιρετός ναι ή όχι ?

Ο αριθμός

διαιρείται με το $2019$?

Λύση

H λύση που μου έστειλε ο αγαπητός φίλος papadim:

Θέτουμε $\nu ={2019}^{2020}$, οπότε:

$1+2^{\nu }+3^{\nu }+..+{2018}^{\nu }=$ 

$=(1^{\nu }+{2018}^{\nu })+(2^{\nu }+{2017}^{\nu })+...+({1009}^{\nu }+{1010}^{\nu })$

Ο $\nu$ είναι περιττός, ως θετική ακέραια δύναμη περιττού, οπότε ο ${\alpha }^{\nu }+{\beta }^{\nu }$ διαιρείται από τον $\alpha +\beta$.

Αλλά $\alpha +\beta =2019$ σε όλες τις πιο πάνω παρενθέσεις. 

Άρα ο $2019$ διαιρεί όλες τις παρενθέσεις, άρα και το άθροισμά τους.