Τρίτη 29 Νοεμβρίου 2022

Πολυτέλειος !

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός (εκτός του $1$), που είναι 
  • τέλειο τετράγωνο
  • τέλειος κύβος και 
  • τέλεια πέμπτη δύναμη;
Αναρτήθηκε από στις 29.11.22
Ετικέτες

2 σχόλια:

  1. papadim29 Νοεμβρίου 2022 στις 10:50 μ.μ.

    Ο 2^30, διότι έχει τη μικρότερη δυνατή βάση, που είναι το 2, και το μικρότερο δυνατό εκθέτη, που είναι το ΕΚΠ(2,3,5)=30

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. michalis zartoulas29 Νοεμβρίου 2022 στις 10:56 μ.μ.

    Έχουμε $ \displaystyle \alpha ^{2}= \beta ^{3} $ για κάποιους θετικούς ακεραίους $ \displaystyle \alpha , \beta $. Συνεπώς θα πρέπει ο $ \displaystyle \beta $ να είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου (απλό). Οπότε ο δοσμένος αριθμός είναι τέλεια πέμπτη δύναμη και τέλεια έκτη δύναμη. Έχουμε $ \displaystyle m^{5}=n^{6} $, όπου $ \displaystyle m,n $ θετικοί ακέραιοι. Άρα (απλό) ο $ \displaystyle n $ είναι τέλεια πέμπτη δύναμη θετικού ακεραίου κι έτσι τελικά ο ζητούμενος αριθμός είναι τέλεια 30η δύναμη θετικού ακεραίου. Ο ελάχιστος (δηλαδή αυτός που θέλουμε) είναι ο αριθμός $ \displaystyle 2^{30} $.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)