Πως εγγράφουμε κανονικό δωδεκάγωνο σε κύκλο;

Σε δοσμένο κύκλο να εγγραφεί κανονικό δεκάγωνο.

Λύση

Έστω ΑΒ = λ₁₀ (σχ.10) η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον κύκλο (Ο,R). Η κεντρική γωνία AÔB είναι 360°10 = 36° και καθεμία από τις γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ΟΑΒ είναι A = B = 72°.

Σχήμα 10

Έτσι, αν φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ της γωνίας ΟAΒ τα τρίγωνα ΔΟΑ και ΑΒΔ είναι ισοσκελή, αφού είναι

ΔAΟ = 36° = AÔB και ΑΔΒ = A₁ + Ô = 36° + 36° = 72° = B.

Επομένως, ΟΔ = ΑΔ = ΑΒ = λ₁₀ και ΒΔ = R - λ₁₀.

Με εφαρμογή του θεωρήματος της διχοτόμου στο τρίγωνο ΟΑΒ προκύπτει ότι:

και επειδή λ₁₀ = ΑΒ > ΔΒ = R - λ₁₀ (αφού ΑΔΒ > ΒAΔ), η τελευταία ισότητα εκφράζει ότι το λ₁₀ είναι το μεγαλύτερο από τα τμήματα που προκύπτουν αν διαιρέσουμε την ακτίνα R σε μέσο και άκρο λόγο. Για την κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου του εγγεγραμμένου σε κύκλο , διαιρούμε την ακτίνα του κύκλου σε μέσο και άκρο λόγο και στη συνέχεια ορίζουμε τα διαδοχικά τόξα ΑΒ, ΒΓ, ... , που έχουν το καθένα χορδή ίση με το μεγαλύτερο τμήμα στα οποία χωρίζεται η ακτίνα με τη διαίρεσή της σε μέσο και άκρο λόγο.