Παρασκευή 4 Νοεμβρίου 2022

Εξίσωση από Andreescu

Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων αριθμών η εξίσωση
$16x^2 y^2 (x^2 + 1)(y^2 − 1) + 4(x^4 + y^4 + x^2 − y^2 )=$ 
$= 2023^2 − 1$ 
Titu Andreescu, University of Texas at Dallas, USA
Αναρτήθηκε από στις 4.11.22
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. papadim5 Νοεμβρίου 2022 στις 3:34 μ.μ.

    Θα προτείνω στον Αντρεέσκου μια λύση μηχανικού κι αν δεν του αρέσει ας ψάξει αυτή που θέλει από τεξανό μαθηματικό ή από το Λουτσέσκου😄.

    Αν θέσουμε χ^2=μ και ψ^2=ν, εφόσον η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις, οι μ και ν είναι τέλεια τετράγωνα και η εξίσωση γράφεται:
    4μν(μ+1)(ν-1)+(μ^2+ν^2+μ-ν)=1023032 (1)
    Εύλογα, η συνεισφορά του δεύτερου όρου του α' μέλους της (1) είναι πολύ μικρή σε σχέση με αυτή του πρώτου όρου, οπότε αναζητούμε τιμές μ, ν τέτοιες ώστε ο 4μν(μ+1)(ν-1) να παίρνει τιμές κοντά στο 1000000. Γρήγορα βρίσκουμε μ=144, ν=4 που μας κάνουν και μάλιστα ικανοποιούν απολύτως την (1). Επομένως χ=+/-12, ψ=+/-2

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. papadim6 Νοεμβρίου 2022 στις 5:34 μ.μ.

      Αυτό που σίγουρα καταλαβαίνει ο Αντρεέσκου και χωρίς να το πω είναι πως όταν ο 4μν(μ+1)(ν-1) παίρνει τιμή κοντά στο 1000000, ο μν(μ+1)(ν-1) παίρνει τιμή κοντά στις 250000. Αλλά ο μν(μ+1)(ν-1) είναι κοντά στον (μν)^2, άρα ο μν κοντά στον √250000=500. Τα τέλεια τετράγωνα με το πλησιέστερο στο 500 γινόμενο είναι τα 144, 4 (144*4=576) και 121, 4 (121*4=484). Έτσι δοκιμάζοντας τα δύο ζευγάρια διαπιστώνουμε ότι με μ=144, ν=4 είμαστε ok.

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)