Τρίτη 11 Οκτωβρίου 2022

Αριθμητική τριγώνου

Τα μήκη πλευρών $χ, y, ω$ ενός τριγώνου είναι ακέραιοι αριθμοί και ένα από τα ύψη του είναι ίσο το άθροισμα των άλλων δύο. 
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 
$χ^2 + y^2 + ω^2$
είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. 
Αναρτήθηκε από στις 11.10.22
Ετικέτες , ,

5 σχόλια:

  1. kfd11 Οκτωβρίου 2022 στις 8:32 μ.μ.

    Ε/x=Ε/y+E/w άρα x=yw/(y+w), και με αντικατάσταση
    y^2w^2/(y+w)^2+y^2+w^2=(y^2w^2+(y^2+w^2)(y^2+w^2+2yw))/(y+w)^2=(y^2+w^2+yw)^2/(y+w)^2

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. papadim11 Οκτωβρίου 2022 στις 9:01 μ.μ.

    Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου, υ1, υ2, υ3 τα ύψη του στις πλευρές χ, ψ, ω αντιστοίχως και υ1=υ2+υ3. Ισχύουν:
    Ε=χυ1/2=ψυ2/2=ωυ3/2
    υ2=χυ1/ψ
    υ3=χυ1/ω
    υ1=υ2+υ3 => 1=χ/ψ+χ/ω => χω+χψ=ψω => χ^2ω^2+χ^2ψ^2+2χ^2ψω=ψ^2ω^2 => χ^2ω^2+χ^2ψ^2+2χ^2ψω+χ^4=ψ^2*ω^2+χ^4 =>χ^2(ω^2+ψ^2+χ^2)=ψ^2ω^2+χ^4-2χ^2ψω =>χ^2+ψ^2+ω^2=(χ^2-ψ*ω)^2/χ^2=[(χ^2-ψω)/χ]^2=(χ-ψ-ω)^2
    ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. kfd11 Οκτωβρίου 2022 στις 10:06 μ.μ.

    (y^2+w^2+yw)/(y+w)=((y+w)^2-yw)/(y+w)=y+w-x

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)