Τετάρτη 12 Οκτωβρίου 2022

Εφαπτομενικές διασταυρώσεις

Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία $Α$ και $Β$. Οι εφαπτομένες σε αυτούς που άγονται από το σημείο $Α$ τέμνουν τους κύκλους ξανά στα σημεία $Μ$ και $N$. 
Οι ευθείες $BM$ και $BN$ τέμνουν τους κύκλους για δεύτερη φορά στα σημεία $P$ και $Q$, αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι $MP= NQ$. 
Αναρτήθηκε από στις 12.10.22
Ετικέτες , ,

2 σχόλια:

  1. papadim13 Οκτωβρίου 2022 στις 2:27 μ.μ.

    Τα τρίγωνα ΑΜΡ και ΑQN είναι προφανώς όμοια.
    Η γ.ΒΑΜ ως γωνία χορδής & εφαπτομένης στο άκρο της χορδής είναι ίση με τη γ.ΒΝΑ και για τον ίδιο λόγο η η γ.ΒΑΝ είναι ίση με τη γ.ΒΜΑ. Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΒΝ είναι όμοια και γ.ΑΒΜ=γ.ΑΒΝ. Επομένως:
    γ.ΑΒΜ+γ.ΑΒΝ+γ.ΝΒΡ=180° =>
    γ.ΑΒΝ+γ.ΑΒΡ=180° => ΑΝ=ΑΡ που σημαίνει ότι τα τρίγωνα ΑΜΡ και ΑQN είναι και ίσα, άρα ΜΡ=QN ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. michalis zartoulas13 Οκτωβρίου 2022 στις 5:59 μ.μ.

    Οι γωνίες AMB και AQB είναι ίσες ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο . Για τον ίδιο λόγο οι γωνίες ANB και APB είναι ίσες. Οπότε τα τρίγωνα AMP και AQN είναι όμοια. Μετά λόγω των γωνιών χορδής-εφαπτομένης είναι πολύ εύκολο να διαπιστώσουμε ότι τα τρίγωνα ABM και ABN είναι όμοια. Άρα τώρα είναι:

    γ.ΑΒΝ+γ.ABP=γ.APN+γ.ABP=180
    γ. ΑBP=180-γ. APN=180-γ.ANP
    γ.ΑPN=γ.ANP
    AN=AP.

    Εδώ τελειώσαμε.(αποδείξαμε την ισότητα τριγώνων που έπρεπε)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)