Μια ωραία μέρα, ο καθηγητής των Μαθηματικών αποφάσισε να πάει την τάξη του σε ένα πάρκο για ένα μάθημα Γεωμετρίας. Κάθισε την τάξη του στο σημείο $d$ από το οποίο όλοι μπορούσαν να δουν τέσσερα ωραία δέντρα που βρίσκονταν στα $a, b, c$ και $e$, τα οποία όριζαν τις κορυφές ενός τετραγώνου από γρασίδι με μήκος πλευράς $5$ μέτρα.
α) Αν ο καθηγητής τους ζητήσει από την τάξη του να βρουν τις συντεταγμένες των σημείων $a$ και $b$, ποια είναι η απάντηση?
β) Ποιο είναι το μέτρο της γωνίας $θ$; Στρογγυλοποιήστε την απάντησή σε τρία δεκαδικά ψηφία.
γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τα $a, b$ και $d$.
α) Έχουμε τον συντελεστή διεύθυνσης
ΑπάντησηΔιαγραφήλ(ec)= (4-0)/(0-3)= -4/3
Λόγω καθετότητας των τμημάτων ae και bc με το ec έχουμε;
yb/(xb-3) = 3/4 (1) και (ya-4)/xa = 3/4 (2)
Επίσης έχουμε (ya-4)^2 + xa^2 = 25 (3)
(xb-3)^2 +yb^2 = 25 (4), με xa,ya,xb,yb > 0.
Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (1),(2),(3),(4) βρίσκουμε: xa=4,ya=7,xb=7,yb=3.
β) Αν α είναι η γωνία που σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα db με το ευθύγραμμο τμήμα dc έχουμε:
εφα= yb/xb = 3/7 και εφ(θ+α)=ya/xa = 7/4 και
εφθ= εφ((θ+α)-α))= (εφ(θ+α)-εφα)/(1+εφ(θ+α) εφα)=
(7/4 - 3/7)/(1+ 7/4 3/7) = 37/49 συνεπάγεται
θ= τοξ εφ(37/49)= 37,06 μοίρες.
γ) Ετριγ. = 1/2 abs(det({{xa,ya,1},{xb,yb,1},{0,0,1}}))= 18,5 units^2
Mε ύλη Β΄ Γυμνασίου
ΑπάντησηΔιαγραφή1.συνbcx=συνdec=0,8 άρα cx=4 και τετμ.b=7 και τεταγμ.b=3.
Όμοια ημaey=ημecd=0,8 άρα τετμ.α=4 και τεταγμ.α=7
3.
εμβαδό dαb=31, εμβ.eαd=8, εμβ.dcb=4,5
άρα εμβ.dab=31-12,5=18,5
2.Έστω υ το ύψος από α προς db
ημθ=υ/αd άρα υ=αd*ημθ=sqrt(65)*ημθ
18,5=0,5*db*υ άρα υ=37/sqrt(58) άρα ημθ=37/sqrt(3770)=0,6
Πανεύκολη για τριγωνομετρία γ γυμνασίου
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφή