Δύο κύκλοι έχουν ακτίνα 1 cm ο καθένας. Οι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους και το κοινό τους σημείο επαφής κάθε κύκλος σημειώνεται με μια κουκκίδα.
Οι κύκλοι αρχίζουν να γυρίζουν ταυτόχρονα, ο αριστερός κύκλος γυρίζει αριστερόστροφα με σταθερό ρυθμό 2 στροφών ανά λεπτό και ο δεξιός κύκλος γυρίζει δεξιόστροφα με σταθερό ρυθμό 6 στροφών ανά λεπτό. Οι κύκλοι γυρίζουν για μία ώρα.
Προσδιορίστε πόσες φορές κατά τη διάρκεια αυτής της ώρας η απόσταση μεταξύ των δύο κουκκίδων είναι ακριβώς 4 cm.
2012 Canadian Mathematics Contest
Η απόσταση μεταξύ των δύο κουκκίδων είναι 4 cm μόνο όταν είναι επί της διακέντρου σε σημεία αντιδιαμετρικά του σημείου επαφής. Απόδειξη:1)Γεωμετρική: Έστω Α , Β τα σημεία αυτά στον αριστερό και το δεξιό κύκλο αντίστοιχα, Ο1 και Ο2 τα κέντρα του αριστερού και δεξιού κύκλου αντίστοιχα, Κ το σημείο επαφής και Α', Β' τυχαία σημεία στον αριστερό και δεξιό κύκλο αντίστοιχα. Αν Μ το σημείο τομής της Α'Β' με την ΑΒ και αν το Μ εσωτερικό σημείο του Α΄Β΄ από την τριγωνική ανισότητα έχουμε (Α'Μ)≤(Ο1Μ)+(Ο1Α') και (MB')≤(O2M)+(O2B'), αλλά (Ο1Α')=(Ο1Α) και (O2B')=(O2B). Άρα (Α'Β')=(Α'Μ)+(ΜΒ')≤(Ο1Μ)+(Ο1Α)+(Ο2Μ)+(Ο2Β)=(ΑΒ). Αν το Μ δεν είναι εσωτερικό του ΑΒ ή αν η Α'Β' είναι παράλληλη στην ΑΒ , τότε (Α'Β')≤(ΚΑ')+(ΚΒ')≤(Ο1Κ)+(Ο1Α') + (Ο2Κ)+(Ο2Β')=(Ο1Κ)+(Ο1Α)+(Ο2Κ)+(Ο2Β)=(ΑΒ). 2) Αναλυτική: Αν Κ=(0,0) και (x1+1)^2 + y1^2=1, (x2-1)^2 + y2^2=1 οι εξισώσεις του αριστερού και δεξιού κύκλου αντίστοιχα, θεωρούμε τη συνάρτηση f(x1,x2,y1,y2)=(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 στο συμπαγές υποσύνολο του R4 Σ=(-2≤x1≤0,0≤x2≤2,-1≤y1≤1,-1≤y2≤1, (x1+1)^2 + y1^2=1=(x2-1)^2 + y2^2). Aπό πολλαπλασιαστές Lagrange το μοναδικό ολικό μέγιστο λαμβάνεται στο σημείο (x1,x2,y1,y2)=(-2,2,0,0).
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο 1/4 του λεπτού είναι η πρώτη φορά που η απόσταση είναι 4cm( ο αριστερός κύκλος έχει κάνει 1/2 της στροφής και ο δεξιός 3/2 στροφές) και μετά κάθε 1/2 του λεπτού( που ο αριστερό κάνει 1 στροφή και ο δεξιός 3 στροφές). Άρα 1/4 + n/2≤60, n E N, επομένως n≤239/2, n≤119. Άρα κατά τη διάρκεια 1 ώρας η απόσταση είναι 4 cm 119+1=120 φορές.
Απλά:
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι δύο κουκίδες βρίσκονται σε απόσταση 4 cm μεταξύ τους όταν συμβαίνει ταυτόχρονα να βρίσκονται α) η αριστερή στο ακραίο αριστερό σημείο του κύκλου της και β) η δεξιά στο ακραίο δεξιό σημείο του κύκλου της. Αν οι κύκλοι αρχίζουν να γυρίζουν στο χρόνο 0, τότε:
-το α) συμβαίνει στους χρόνους 15",45",75",105",135",......
- και το β) στους χρόνους
5",15",25",35",45",......
Τα δύο συμβαίνουν ταυτόχρονα κάθε φορά που συμβαίνει το α), δηλαδή 2 φορές μέσα σε κάθε λεπτό λεπτό από την έναρξη, άρα 120 φορές στην ώρα.
Τόσο κοντά η μία στη άλλη ούτε οι δύο κουκίδες θα βρισκόντουσαν😉.
ΑπάντησηΔιαγραφή