Επειδή εξ υποθέσεως έχουμε f(x)>0 για κάθε πραγματικό x τότε θα έχουμε f(0)^(f(ξ))>0, f(1)^(f(ξ))>0. Επίσης έχουμε e^(f'(ξ))>0. e^(f'(ξ)) f(0)^(f(ξ))= f(1)^(f(ξ)) e^(f'(ξ))=(f(1)/f(0))^(f(ξ)) ln[e^(f'(ξ))]=ln[(f(1)/f(0))^(f(ξ))] f'(ξ)/f(ξ)= ln(f(1))-ln(f(0)) f'(ξ)/f(ξ)= (ln(f(1))-ln(f(0))/(1-0)= (ln(f(x))'x=ξ (1) Συνεπώς πρέπει να βρούμε αν υπάρχει κάποιος πραγματικός ξ που να ικανοποιεί την (1). Επειδή f(x)>0 για κάθε πραγματικό x θεωρούμε την συνάρτηση h(x)= ln(f(x)) με πεδίο ορισμού το R η οποία είναι συνεχής στο R ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη διότι η τιμή f(x) είναι διάφορη του 0 (f(x)>0) και η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με παράγωγο συνάρτηση την h'(x)=f'(x)/f(x). Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την h(x)= ln(f(x)) στο διάστημα (0,1) έχουμε ότι υπάρχει στο διάστημα αυτό ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε: h'(ξ)=f'(ξ)/f(ξ)=(ln(f(1))-ln(f(0)))/(1-0), συνεπώς ικανοποιείται η σχέση (1) άρα και η αρχική e^(f'(ξ)) f(0)^(f(ξ))= f(1)^(f(ξ)).
Σημείωση για την περίπτωση που έχουμε f(1)=f(0) έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (0,1) τέτοιο ώστε f'(ξ)=0 (Θεώρημα του Rolle).
Επειδή εξ υποθέσεως έχουμε f(x)>0 για κάθε πραγματικό x τότε θα έχουμε f(0)^(f(ξ))>0, f(1)^(f(ξ))>0. Επίσης έχουμε e^(f'(ξ))>0.
ΑπάντησηΔιαγραφήe^(f'(ξ)) f(0)^(f(ξ))= f(1)^(f(ξ))
e^(f'(ξ))=(f(1)/f(0))^(f(ξ))
ln[e^(f'(ξ))]=ln[(f(1)/f(0))^(f(ξ))]
f'(ξ)/f(ξ)= ln(f(1))-ln(f(0))
f'(ξ)/f(ξ)= (ln(f(1))-ln(f(0))/(1-0)= (ln(f(x))'x=ξ (1)
Συνεπώς πρέπει να βρούμε αν υπάρχει κάποιος πραγματικός ξ που να ικανοποιεί την (1).
Επειδή f(x)>0 για κάθε πραγματικό x θεωρούμε την συνάρτηση h(x)= ln(f(x)) με πεδίο ορισμού το R η οποία είναι συνεχής στο R ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη διότι η τιμή f(x) είναι διάφορη του 0 (f(x)>0) και η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με παράγωγο συνάρτηση την h'(x)=f'(x)/f(x).
Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την h(x)= ln(f(x)) στο διάστημα (0,1) έχουμε ότι υπάρχει στο διάστημα αυτό ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε:
h'(ξ)=f'(ξ)/f(ξ)=(ln(f(1))-ln(f(0)))/(1-0), συνεπώς ικανοποιείται η σχέση (1) άρα και η αρχική
e^(f'(ξ)) f(0)^(f(ξ))= f(1)^(f(ξ)).
Σημείωση για την περίπτωση που έχουμε f(1)=f(0) έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (0,1) τέτοιο ώστε f'(ξ)=0 (Θεώρημα του Rolle).