Κυριακή 2 Ιανουαρίου 2022

Συνεχής και παραγωγίσιμη

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to (0, \infty)$ συνεχής και παραγωγίσιμη. Να αποδείξετε ότι υπάρχει  $\xi \in (0,1)$, τέτοιο ώστε 
$e^{f'(\xi)} \cdot f(0)^{f(\xi)} = f(1)^{f(\xi)}$.
VJIMC 2016
Αναρτήθηκε από στις 2.1.22
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. Μαρίνος Ματιάτος3 Ιανουαρίου 2022 στις 2:09 μ.μ.

    Επειδή εξ υποθέσεως έχουμε f(x)>0 για κάθε πραγματικό x τότε θα έχουμε f(0)^(f(ξ))>0, f(1)^(f(ξ))>0. Επίσης έχουμε e^(f'(ξ))>0.
    e^(f'(ξ)) f(0)^(f(ξ))= f(1)^(f(ξ))
    e^(f'(ξ))=(f(1)/f(0))^(f(ξ))
    ln[e^(f'(ξ))]=ln[(f(1)/f(0))^(f(ξ))]
    f'(ξ)/f(ξ)= ln(f(1))-ln(f(0))
    f'(ξ)/f(ξ)= (ln(f(1))-ln(f(0))/(1-0)= (ln(f(x))'x=ξ (1)
    Συνεπώς πρέπει να βρούμε αν υπάρχει κάποιος πραγματικός ξ που να ικανοποιεί την (1).
    Επειδή f(x)>0 για κάθε πραγματικό x θεωρούμε την συνάρτηση h(x)= ln(f(x)) με πεδίο ορισμού το R η οποία είναι συνεχής στο R ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη διότι η τιμή f(x) είναι διάφορη του 0 (f(x)>0) και η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με παράγωγο συνάρτηση την h'(x)=f'(x)/f(x).
    Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την h(x)= ln(f(x)) στο διάστημα (0,1) έχουμε ότι υπάρχει στο διάστημα αυτό ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε:
    h'(ξ)=f'(ξ)/f(ξ)=(ln(f(1))-ln(f(0)))/(1-0), συνεπώς ικανοποιείται η σχέση (1) άρα και η αρχική
    e^(f'(ξ)) f(0)^(f(ξ))= f(1)^(f(ξ)).

    Σημείωση για την περίπτωση που έχουμε f(1)=f(0) έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (0,1) τέτοιο ώστε f'(ξ)=0 (Θεώρημα του Rolle).

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)