Το έτος $2022$ που υποδεχτήκαμε έχει την ιδιότητα ότι μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας το πολύ δύο διαφορετικά ψηφία, δηλαδή το $2$ και το $0$.
Πόσα τέτοια έτη υπάρχουν μεταξύ $1$ και $9999$;
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εύχομαι ολόψυχα καλή χρονιά με υγεία, ασφάλεια και πρόοδο σε όλΑ τα στελέχη και τους φίλους του eisatopon!
ΑπάντησηΔιαγραφήΔύο το πολύ ψηφία σημαίνει ένα ή δύο ψηφία.
Από τα έτη 1 έως 999, εξαιρούμε μόνο τα 3-ψήφια που γράφονται με 3 διαφορετικά ψηφία (9×9×8=648). Συνολικά υπάρχουν 999-648=351 περιπτώσεις.
Τώρα στα 4-ψήφια έτη:
Αν είναι ένα το ψηφίο, αυτό δεν μπορεί να είναι το 0. Συνολικά 9 περιπτώσεις.
Αν είναι δύο τα ψηφία (9 περιπτώσεις), με ένα από αυτά το 0, πρώτο μπαίνει υποχρεωτικά το άλλο ψηφίο, ενώ το 0 εμφανίζεται 3 φορές (1 περίπτωση) ή 2 φορές (3 περιπτώσεις) ή 1 φορά (3 περιπτώσεις). Συνολικά 9×(1+3+3)=63 περιπτώσεις.
Αν είναι δύο διάφορα του 0 τα ψηφία (C(9,2)=36 περιπτώσεις), τα πλήθη των εμφανίσεών τους μπορεί να είναι 1+3 (4 περιπτώσεις) ή 3+1 (4 περιπτώσεις) ή 2+2 (6 περιπτώσεις). Συνολικά 36×(4+4+6)=504 περιπτώσεις.
Γενικό σύνολο: 351+9+63+504=927 περιπτώσεις
@ papadim
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλή και ευλογημένη χρονιά, με υγεία !