Ανισότητα Τζίντζιφα

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι 

${\displaystyle \frac{\kappa {\alpha }^4}{\lambda +\mu }}+{\displaystyle \frac{\lambda {\beta }^4}{\mu +\kappa }}+{\displaystyle \frac{\mu {\gamma }^4}{\kappa +\lambda }}\ge 8{{\rm E}}^2$.

Με τη βοήθεια της ανισότητας Τζίντζιφα, να αποδείξετε ότι 

i) ${\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4\ge 16{{\rm E}}^2$

ii) $3{\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4\ge 24{{\rm E}}^2$

iii) $2{\alpha }^4+5{\beta }^4+10{\gamma }^4\ge 80{{\rm E}}^2$

iv) ${\displaystyle \frac{{\alpha }^4}{\gamma }}+{\displaystyle \frac{{\beta }^4}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{\beta }}\ge {\displaystyle \frac{({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2{)}^2}{\alpha +\beta +\gamma }}$

v) ${\displaystyle \frac{{\alpha }^5}{\beta +\gamma }}+{\displaystyle \frac{{\beta }^5}{\gamma +\alpha }}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^5}{\alpha +\beta }}\ge 8{{\rm E}}^2$

vi) ${\displaystyle \frac{{\alpha }^3}{\gamma (\gamma +\alpha )}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^3}{\alpha (\alpha +\beta )}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^3}{\beta (\beta +\gamma )}}\ge {\displaystyle \frac{2{\rm E}}{R}}$

vii) ${\displaystyle \frac{{\alpha }^4}{{\beta }^8({\gamma }^4+{\alpha }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^4}{{\gamma }^8({\alpha }^4+{\beta }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{{\alpha }^8({\beta }^4+{\gamma }^4))}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2R^2}}$

Από το βιβλίο «Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο», του Δ. Γ. Κοντογιάννη.