Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι
$ \dfrac{κα^4}{λ+μ}+ \dfrac{λβ^4}{μ+κ}+ \dfrac{μγ^4}{κ+λ}\geq8Ε^2$.
Με τη βοήθεια της ανισότητας Τζίντζιφα, να αποδείξετε ότι
i) $ α^4 + β^4 +γ^4\geq16Ε^2$
ii) $3 α^4 + β^4 +γ^4\geq24Ε^2$
iii) $ 2α^4 + 5β^4 +10γ^4\geq80Ε^2$
iv) $\dfrac{α^4}{γ}+ \dfrac{β^4}{α} + \dfrac{γ^4}{β}\geq\dfrac{(α^2+β^2+γ^2)^2}{α+β+γ}$
v) $\dfrac{α^5}{β+γ}+ \dfrac{β^5}{γ+α} + \dfrac{γ^5}{α+β}\geq8Ε^2$
vi) $\dfrac{α^3}{γ(γ+α)}+ \dfrac{β^3}{α(α+β)} + \dfrac{γ^3}{β(β+γ)}\geq\dfrac{2Ε}{R}$
vii) $\dfrac{α^4}{β^8(γ^4+α^4)}+ \dfrac{β^4}{γ^8(α^4+β^4)} + \dfrac{γ^4}{α^8(β^4+γ^4))}\geq\dfrac{1}{2R^2}$
Από το βιβλίο «Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο», του Δ. Γ. Κοντογιάννη.
κ, λ, μ > 0.8Ε^2=8(α+β+γ)(α+β-γ)(β+γ-α)(γ+α-β)/16=(2(α^2)(β^2) + 2(β^2)(γ^2) + 2(γ^2)(α^2) - α^4 - β^4 - γ^4)/2. Άρα η ανισότητα γίνεται : (2κ/(λ+μ) + 1)α^4 + (2λ/(μ+κ) + 1)β^4 + (2μ/(κ+λ) + 1)γ^4 - 2(α^2)(β^2) - 2(β^2)(γ^2) - 2(γ^2)(α^2) ≥ 0 .Θέτουμε λ+μ=Α , μ+κ=Β , κ+λ=Γ και έχουμε:(Β/Α + Γ/Α)α^4 + (Γ/Β + Α/B)β^4 + (Α/Γ + Β/Γ)γ^4 - 2(√(B/A)√(A/B))(α^2)(β^2) - 2(√(Γ/Β)√Β/Γ))(β^2)(γ^2) - 2(√(Γ/Α)√(Α/Γ))(γ^2)(α^2)≥0,άρα ((√(Β/Α))α^2 - (√(Α/Β))β^2)^2 + ((√(Γ/Β))β^2 - (√(Β/Γ))γ^2)^2 + ((√(Α/Γ))γ^2 - (√(Γ/Α))α^2)^2≥0,που ισχύει. i)κ=λ=μ=1, ii)κ=2,λ=μ=1, iii)κ=1,λ=2,μ=3, iv)κ=α+β-γ, λ=β+γ-α, μ=γ+α-β, v)κ=α, λ=β, μ=γ, vi)κ=β, λ=γ, μ=α, vii)λύνουμε το ομογενές γραμμικό σύστημα κ=(α^2)(γ^2)/((β^6)(α^4 + γ^4)), λ=(α^2)(β^2)/((γ^6)(α^4 + β^4)), μ=(β^2)(γ^2)/((α^6)(β^4 + γ^4)).
ΑπάντησηΔιαγραφή