Τρίτη 14 Δεκεμβρίου 2021

$α,β=?$

Αν το πολυώνυμο $x^2 - x - 1$ είναι παράγοντας του 
$αx^{17} + βx^{16} + 1$
τότε να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί $α$ και $β$.
AIME Problems 1988
Αναρτήθηκε από στις 14.12.21
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. papadim14 Δεκεμβρίου 2021 στις 7:38 μ.μ.

    Εφόσον το χ^2-χ-1 είναι παράγοντας του αχ^17+βχ^16+1, οι ρίζες του πρώτου, ήτοι οι τιμές χ που ικανοποιούν τη συνθήκη χ^2=χ+1 (1), θα είναι και ρίζες του δεύτερου.
    Όταν ισχύει η (1) έχουμε:
    χ^3=χ^2+χ=2χ+1
    χ^4=χ^3+χ^2=3χ+2
    χ^5=χ^4+χ^3=5χ+3
    .......
    χ^ν=χ^(ν-1)+χ^(ν-2)=F(ν)*χ+F(ν-1),
    όπου F(ν) ο ν-οστός αριθμός Fibonacci.
    Επομένως για
    αχ^17+βχ^16+1=0 =>
    α[F(17)χ+F(16)]+β[F(16)χ+F(15)]+1=
    [αF(17)+βF(16)]χ+[αF(16)+βF(15)+1]=0 (2)
    Οι ρίζες του χ^2-χ-1 είναι άρρητοι, ενώ ο συντελεστής του χ και ο σταθερός όρος στη (2), για ακέραια α και β, είναι κι οι δύο ακέραιοι. Για να ισχύει επομένως η (2), πρέπει να μηδενίζεται ο και ο συντελεστής του χ και ο σταθερός όρος. Για το μηδενισμό του συντελεστή του χ, πρέπει:
    α=F(16)=987 και
    β=-F(17)=-1597 ή
    α=-F(16), β=F(17).
    Για α=987,β=-1597 και δεδομένου ότι F(15)=610, επιβεβαιώνεται ότι μηδενίζεται και ο σταθερός όρος, ενώ για α=-987, β=1597, ο σταθερός όρος δεν μηδενίζεται. Άρα:
    α=987, β=-1597

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)