Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$, $O$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και $G$ το βαρύκεντρο του. Έστω $Χ$ είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Α και της κάθετης της $GO$ στο σημείο $G$ και $Y$ το σημείο τομής της $XG$ και $BC$.
Η θέση του Ο σε σχέση με το τρίγωνο οφείλεται στο ότι αυτό είναι οξυγώνιο. Φέρουμε τη διάμεσο AG που τέμνει τη BC στο Μ και την ακτίνα OA.Ισχύει ότι ΟΜ κάθετη στη BC και ΟΑ κάθετη στην ΑΧ. Επίσης, από την αναλογία 13:2:17,προκύπτει ότι η γωνία ΧΟΥ=ABC+2BCA.Τα τετράπλευρα GOMY και OGAX είναι εγγράψιμα σε κύκλο και επομένως ισχύουν : γωνία GOY=GMY=180-ABC-(BAC-GAC) και γωνία GOX=180-GAX=180-(CAX+GAC).Αλλά η γωνία CAX=180-BAC-BCA=ABC (η εγγεγραμένη γωνία BCA είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζεται από την AB και την εφαπτομένη στο Α).GOY+GOX=XOY,άρα 360-2ABC-BAC=ABC+2BCA,άρα 360-2ABC=BAC+ABC+BCA+BCA,άρα 360-2ABC=180+BCA.Έτσι προκύπτει ότι 2ABC+BCA=180=BAC+ABC+BCA,άρα ABC=BAC,επομένως το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές και αν BCA=x : 2x+13x+13x=180,άρα x=180/28=45/7,άρα BAC=13*45/7=585/7.Αλλά (585,7)=1,άρα m=585,n=7 και m+n=585+7=592
ΑπάντησηΔιαγραφή