Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 5η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 
Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ συνεχής και γνησίως μονότονη, με $f(R)=R$, η οποία διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(1,2)$ και 

${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}{\displaystyle \frac{(x-3)f(x)-\sigma \upsilon \nu (x-3)+1}{\sqrt{x+1}-2}}=16}$.

Έστω επίσης συνάρτηση $g:R\to R$ συνεχής, με $g(0)=-2$ και 

$g^2(x)-2x^{2}g(x)=4-x^4$, $x\in R$.

i) Να δείξετε ότι $f(3)=4$ και ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη.

ii) Να δείξετε ότι $g(x)=x^2-2$, $x\in R$.

iii) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει την γραφική παράσταση της $g$ σε ένα τουλάχιστον σημείο. 

iv) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in (1,3)$ τέτοιο ώστε 

$6f(x_0)=f(1)+2f(2)+3f(3)$.

v) Να λύσετε την εξίσωση 

$f(e^{x-3}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-7)=f^{-1}(4)+f^{-1}(2)$.