Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 5η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 
Έστω συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ συνεχής και γνησίως μονότονη, με $f(R) = R$, η οποία διέρχεται από το σημείο $Α(1,2)$ και 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}\dfrac{(x-3)f(x) - συν(x-3) +1}{\sqrt{x +1} - 2}=16$.

Έστω επίσης συνάρτηση $g: R\rightarrow R$ συνεχής, με $g(0) = -2$ και 

$g^2(x) - 2x^2g(x) = 4 - x^4$, $x \in R$.

i) Να δείξετε ότι $f(3) = 4$ και ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη.

ii) Να δείξετε ότι $g(x) = x^2 - 2$, $x \in R$.

iii) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει την γραφική παράσταση της $g$ σε ένα τουλάχιστον σημείο. 

iv) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in(1,3)$ τέτοιο ώστε 

$6f(x_0) = f(1) + 2f(2) + 3f(3)$.

v) Να λύσετε την εξίσωση 

$f(e^{x-3} + \dfrac{1}{3}x^3 - 7 ) = f^{-1}(4) + f^{-1}(2)$.