Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 6η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 
Έστω $f, g$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $x_0=2$, με 

$f(2) = g(2) + 8$

και  ισχύει 

$f(x)< g(x) + x^3$, $\forall x\neq2$ . 

i) Να δείξετε ότι 

$f'(2) = g' (2) +12$.

ii) Aν επιπλέον 

$g(x) =\begin{cases}x^2 & x \leq 2\\αx+ β & x > 2\end{cases}$  

α) Να βρείτε τα $α, β$.

β) Να βρεθούν  $g' (2)$ και $f'(2)$.

γ) Να υπολογίσετε το 

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(2+3h) - f(2- h)}{h}$.

δ) Να δείξετε ότι

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{f^2(2 - 5h) - f^2(2)}{h}= - 1920$.

ε) Να δείξετε ότι

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty }x[g(\dfrac{2x+1}{x}) - g(2)]=4$.