Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 6η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 
Έστω $f,g$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $x_0=2$, με 

$f(2)=g(2)+8$

και  ισχύει 

$f(x)<g(x)+x^3$, $\mathrm{\forall }x\ne 2$ . 

i) Να δείξετε ότι 

$f^{\prime }(2)=g^{\prime }(2)+12$.

ii) Aν επιπλέον 

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& x\le 2\\ \alpha x+\beta & x>2\end{array}$  

α) Να βρείτε τα $\alpha ,\beta$.

β) Να βρεθούν  $g^{\prime }(2)$ και $f^{\prime }(2)$.

γ) Να υπολογίσετε το 

${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}}}$.

δ) Να δείξετε ότι

${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^2(2-5h)-f^2(2)}{h}}=-1920}$.

ε) Να δείξετε ότι

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x[g({\displaystyle \frac{2x+1}{x}})-g(2)]=4}$.