In a forest there are n different trees (considered as points), no three of which lie on the same line. John takes photographs of the forest such that all trees are visible (and no two trees are behind each other).
What is the largest number of orders of in which the trees that can appear on the photos?
Έστω ότι ο John παίρνει μια φωτογραφία του δάσους από το σημείο Ο (αρχή) ενός καρτεσιανού συστήματος χΟψ προσανατολίζοντας το φακό της μηχανής στην κατεύθυνση Οψ. Αφού στη φωτογραφία φαίνονται όλα τα δένδρα, θα πρέπει η τετμημένη χ κάθε δένδρου να είναι διαφορετική από την αντίστοιχη κάθε άλλου δένδρου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟποιαδήποτε απλή γραμμική μετατόπιση του συστήματος χΟψ, χωρίς περιστροφή, προσθέτει ή αφαιρεί κάποιες σταθερές (τις ίδιες για όλα τα σημεία/δένδρα) στις αρχικές συντεταγμένες, χωρίς να αλλοιώνει την αρχική διάταξη των σημείων, ως προς οποιαδήποτε συντεταγμένη.
Αν όμως ταυτόχρονα περιστρέψουμε το αρχικό σύστημα ως προς την αρχή του (αν δηλαδή ο John μετατοπίζεται κατάλληλα και περιστρέφει την κατεύθυνση λήψης Οψ ταυτόχρονα, παίρνοντας συνεχώς φωτογραφίες), τότε στη διάρκεια της περιστροφής, η διάταξη των σημείων/δένδρων θα αλλάζει και, στη διάρκεια μιας πλήρους περιστροφής, θα εμφανιστούν όλες οι δυνατές εναλλακτικές διατάξεις των n σημείων.
Κατά την περιστροφή, σε κάθε μετάβαση από μια διάταξη σε μια διαφορετική, οι συντεταγμένες χ δύο τουλάχιστον σημείων εξισώνονται και η ευθεία που συνδέει τα σημεία αυτά καθίσταται παράλληλη με τον άξονα Οψ. Αυτό θα συμβεί 2 φορές για κάθε ζευγάρι σημείων, επομένως για C(n,2)=n(n-1)/2 ζευγάρια σημείων/δένδρων συνολικά, θα εμφανιστούν n(n-1) διαφορετικές διατάξεις των δένδρων, δεδομένου ότι δεν υπάρχουν συνευθειακά σημεία/δένδρα ανά τρία ή περισσότερα.
Πιο πρακτικά:
ΔιαγραφήΟ John διαγράφει γύρω από το δάσος έναν κύκλο εστιάζοντας διαρκώς με την κάμερά του στο κέντρο Ο του κύκλου. Στη διάρκεια μιας πλήρους περιστροφής θα εμφανιστούν όλες οι διαφορετικές διατάξεις.