Διασκεδαστικά Μαθηματικά : Δεν μπορεί

Πέμπτη 18 Νοεμβρίου 2021

Να αποδειχθεί ότι το ύψος ενός περιγεγραμμένου τραπεζίου δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τον γεωμετρικό μέσο των βάσεων.

L. Németh, Fonyód

vimarkoulis@gmail.com22 Νοεμβρίου 2021 στις 4:29 μ.μ.
Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ), (Ο,R) ο κύκλος στον οποίο είναι περιγεγραμμένο το τραπέζιο και ΠΡΣΤ το τετράπλευρο από τα σημεία στα οποία ο κύκλος εφάπτεται(το Π στην ΑΒ, το Ρ στη ΒΓ, το Σ στη ΓΔ, το Τ στη ΔΑ, η ΠΣ είναι διάμετρος). Τα τρίγωνα ΒΟΓ και ΑΟΔ είναι ορθογώνια (οι γωνίες ΒΟΓ και ΑΟΔ είναι ορθές αφού ανήκουν στα ορθογώνια παραλληλόγραμμα που σχηματίζονται από τις ΟΒ,ΟΓ,ΠΡ,ΡΣ και ΟΑ,ΟΔ,ΠΤ,ΣΤ αντίστοιχα).Άρα ισχύουν τα εξής : R^2=ΟΡ^2=ΒΡ*ΡΓ και R^2=ΟΤ^2=ΑΤ*ΤΔ(ΟΡ και ΟΤ ύψη που αντιστοιχούν στις υποτείνουσες των αντίστοιχων τριγώνων).Αλλά ΒΡ=ΠΒ,ΡΓ=ΣΓ,ΑΤ=ΑΠ,ΤΔ=ΔΣ ως εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο από τα σημεία Β,Γ,Δ,Α αντίστοιχα. Επομένως 2R=√(ΠΒ*ΣΓ) + √(ΑΠ*ΔΣ) ≤ √((ΠΒ+ΑΠ)(ΣΓ+ΔΣ))=√(ΑΒ*ΓΔ) (ανισότητα Cauchy-Schwarz:αβ+γδ≤√(α^2 + γ^2)√(β^2 + δ^2),α,β,γ,δ ≥ 0 ).
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις