Challenging Recreational Mathematics: Geometry problems proposed by George Apostolopoulos

Σάββατο 27 Νοεμβρίου 2021

vimarkoulis@gmail.com9 Δεκεμβρίου 2021 στις 6:00 μ.μ.
3=x+y+z≥3cuberoot(xyz), άρα xyz≤1 (a). xy+yz+zx≤(x^2 + y^2)/2 + (y^2 + z^2)/2 + (z^2 + x^2)/2 = x^2 + y^2 + z^2≤(x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx),άρα xy+yz+zx≤3=x+y+z (b). Επίσης: (x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=3(xy+yz+zx)-xyz και 2xy(y+z)(z+x) + 2yz(x+y)(z+x) + 2zx(x+y)(y+z)=2xy(3-x)(3-y) + 2yz(3-z)(3-y) + 2zx(3-z)(3-x)=2xy(9-(x+y)+xy) + 2yz(9-(y+z)+yz) + 2zx(9-(z+x)+zx)=2xy(9-(3-z)+xy) + 2yz(9-(3-x)+yz) + 2zx(9-(3-y)+zx)=12xy+2(x^2)(y^2)+2xyz + 12yz+2(y^2)(z^2)+2xyz + 12zx+2(z^2)(x^2)+2xyz=12(xy+yz+zx)+2(xy+yz+zx)^2-4(x+y+z)(xy+yz+zx)+6xyz=2(xy+yz+zx)^2 + 6xyz . Άρα η αρχική ανισότητα γίνεται:3(xy+yz+zx)^2 - xyz(xy+yz+zx)≥2(xy+yz+zx)^2 + 6xyz),δηλαδή:(xy+yz+zx)^2 - xyz(xy+yz+zx) - 6xyz≥0,που ισχύει, αφού: από (a) και (b) έχουμε (xy+yz+zx)^2 - xyz(xy+yz+zx) - 6xyz≥(xy+yz+zx)^2 - xyz(x+y+z) - 2xyz(x+y+z)=1/2((xy-yz)^2 + (yz-zx)^2 + (zx-xy)^2)≥0.
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις