Διασκεδαστικά Μαθηματικά : Geometry problems proposed by George Apostolopoulos

Τρίτη 23 Νοεμβρίου 2021

vimarkoulis@gmail.com8 Δεκεμβρίου 2021 στις 7:30 μ.μ.
aha/2=bhb/2=chc/2=abc/4R , άρα ha=bc/2R , hb=ac/2R , hc=ab/2R . Από το νόμο των συνημιτόνων : ma^2=(b^2)/2 + (c^2)/2 - (a^2)/4 , mb^2=(c^2)/2 + (a^2)/2 - (b^2)/4 , mc^2=(a^2)/2 + (b^2)/2 - (c^2)/4 . Επομένως η ανισότητα γίνεται : 2bc/(4a^2 + b^2 + c^2) + 2ca/(4b^2 + c^2 + a^2) + 2ab/(4c^2 + a^2 + b^2)≥1 . Κάνοντας τις πράξεις : 34Σcyc((a^3)(b^3) + 10Σcyc((a^3)(b^2)(c)) + 8Σcyc((a^5)(b)) + 2Σcyc((a^4)(b)(c)) - 4Σcyc((a^6)) - 21Σcyc((a^4)(b^2)) - 78(a^2)(b^2)(c^2)≥0,η οποία με ισοδυναμίες καταλήγει στην ανισότητα : 2Σcyc((c^2 - (a-b)^2)^2(a-b)^2) + Σcyc((c^2 - (a-b)^2)(a^2 - b^2)^2) + 2Σcyc(b(c+a)(b^2 - (c-a)^2)(c-a)^2) + 6Σcyc(a^4(b-c)2) + Σcyc((a^2 + b^2)(a-b)^4) + Σcyc(ab(a-b)^4)≥0, που προφανώς ισχύει σε κάθε τρίγωνο λόγω της τριγωνικής ανισότητας(▐a-b▐<c<a+b , ▐b-c▐<a<b+c , ▐c-a▐<b<c+a ).Η ισότητα ισχύει όταν a=b=c(ισόπλευρο τρίγωνο).
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις