Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 4η

  Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνονται οι συναρτήσεις

$f(x)={\displaystyle \frac{(\alpha -2){\chi }^2+(\beta -2)\chi +2}{\chi -2}}$

και

$g(x)=\sqrt{25x^2+x+5}-(x-2)f(x)$ 

με 

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=5}$.

I) Να δείξετε ότι $\alpha =2$, $\beta =7$ και $f(\chi )={\displaystyle \frac{5\chi +2}{\chi -2}}$.

II) Να υπολογίσετε τα όρια:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)}$ και ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}g(x)}$.

III) Να βρείτε το όριο 

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{{\alpha }^{\chi +1}+7{\beta }^{\chi -1}}{{\alpha }^{\chi }-{\beta }^{\chi }}}{)}^{2022}}$.

IV) Να βρείτε το όριο 

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(g(x)+5x+2)\eta \mu \frac{5}{\chi }}$.

V) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης $f(\chi )$ στην μορφή $f(\chi )=\gamma +{\displaystyle \frac{\delta }{\chi -2}}$ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της $f$ καθώς και της $h(\chi )=|f(\chi )|$ στο ίδιο σύστημα αξόνων.