Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 4η

  Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνονται οι συναρτήσεις

$f(x) = \dfrac{(α-2)χ^2 + (β-2)χ +2}{χ - 2}$

και

$g(x) = \sqrt{25x^2 +x + 5} - (x - 2)f (x)$ 

με 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty } f(x)=5$.

I) Να δείξετε ότι $α= 2$, $β = 7$ και $f(χ) =\dfrac{5χ+2}{χ - 2}$.

II) Να υπολογίσετε τα όρια:

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty } g(x)$ και $\displaystyle\lim_{x \rightarrow - \infty } g(x)$.

III) Να βρείτε το όριο 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(\dfrac{α^{χ+1}+7β^{χ - 1}}{α^χ - β^χ})^{2022}$.

IV) Να βρείτε το όριο 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty }(g(x) + 5x + 2)ημ\frac{5}{χ}$.

V) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης $f(χ)$ στην μορφή $f(χ)=γ + \dfrac{δ}{χ - 2}$ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της $f$ καθώς και της $h(χ) = | f(χ)|$ στο ίδιο σύστημα αξόνων.