Challenging Recreational Mathematics: Geometry problems proposed by George Apostolopoulos

Τρίτη 16 Νοεμβρίου 2021

vimarkoulis@gmail.com18 Νοεμβρίου 2021 στις 11:06 π.μ.
Από πολλαπλασιαστές Lagrange για τη συνάρτηση f(a,b,c)=(a+b+c)^2 + 3abc(a+b+c)-4, στο σύνολο Σ=(a,b,c≥0,ab+bc+ca=1):2(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3abc=λ(b+c),2(a+b+c)+3ac(a+b+c)+3abc=λ(c+a),2(a+b+c)+3ab(a+b+c)+3abc=λ(a+b),από όπου προκύπτει ότι a=b=c. Άρα, από τη ab+bc+ca=1, έχουμε: a=b=c=√3/3. f(√3/3,√3/3,√3/3)=0.Στο σύνορο του Σ (a=0 ή b=0 ή c=0,ab+bc+ca=1) f(a,b,c)≥0 με f=0 στα σημεία: (0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (αν πχ a=0,τότε bc=1 και (b + 1/b)^2≥4 , με την ισότητα να ισχύει όταν b=1(=c) ) .Σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του Σ υπάρχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή αφού η f είναι συνεχής. Αν υπήρχε ελάχιστη τιμή < 0 θα ήταν σε εσωτερικό σημείο του συνόλου Σ (a,b,c>0 , ab+bc+ca=1),αλλά το μοναδικό σημείο όπου ισχύει η συνθήκη Lagrange είναι το (√3/3,√3/3,√3/3),όπου f=0. Άρα η ελάχιστη τιμή της f ,για a,b,c>0 και ab+bc+ca=1,είναι το 0. Επομένως, f(a,b,c)≥0,άρα (a+b+c)^2 + 3abc(a+b+c)≥4.
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις