Από πολλαπλασιαστές Lagrange στη συνάρτηση f(x,y,z)=(3x^3 + 2)(3y^3 + 2)(3z^3 + 2)-125 στο σύνολο Σ=(x,y,z ≥ 0 , xy+yz+zx=3 ) προκύπτει ότι το ελάχιστο είναι το 0 στο (x,y,z)=(1,1,1) (Είναι το μοναδικό εσωτερικό σημείο του συνόλου Σ(ως υποσυνόλου του(xy+yz+zx=3, x,y,zER)) όπου ικανοποιείται η συνθήκη Lagrange , το σύνολο δεν είναι συμπαγές( είναι κλειστό ,αλλά όχι φραγμένο), αλλά στο υποσύνολο ( x=0 ή y=0 ή z=0 ),που είναι το σύνορο του Σ ως υποσυνόλου του ( xy+yz+zx=3, x,y,zΕR ),f(x,y,z)≥243-125=118>0 . Σε ένα συμπαγές υποσύνολο του Σ, όπου ανήκει το(x,y,z)=(1,1,1),ως εσωτερικό σημείο με τη σχετική τοπολογία, στο σύνορο θα είχαμε f(x,y,z) να τείνει σε τιμή ≥118, καθώς πχ x,y τείνουν σε μια τιμή πολύ κοντά στο 0, και επομένως ,αφού f(1,1,1)=0, αν υπήρχε μικρότερη τιμή θα έπρεπε να ικανοποιεί τη συνθήκη Lagrange, αλλά αυτό δεν ισχύει. Άρα το f(1,1,1)=0 είναι το ελάχιστο.
Από πολλαπλασιαστές Lagrange στη συνάρτηση f(x,y,z)=(3x^3 + 2)(3y^3 + 2)(3z^3 + 2)-125 στο σύνολο Σ=(x,y,z ≥ 0 , xy+yz+zx=3 ) προκύπτει ότι το ελάχιστο είναι το 0 στο (x,y,z)=(1,1,1) (Είναι το μοναδικό εσωτερικό σημείο του συνόλου Σ(ως υποσυνόλου του(xy+yz+zx=3, x,y,zER)) όπου ικανοποιείται η συνθήκη Lagrange , το σύνολο δεν είναι συμπαγές( είναι κλειστό ,αλλά όχι φραγμένο), αλλά στο υποσύνολο ( x=0 ή y=0 ή z=0 ),που είναι το σύνορο του Σ ως υποσυνόλου του ( xy+yz+zx=3, x,y,zΕR ),f(x,y,z)≥243-125=118>0 . Σε ένα συμπαγές υποσύνολο του Σ, όπου ανήκει το(x,y,z)=(1,1,1),ως εσωτερικό σημείο με τη σχετική τοπολογία, στο σύνορο θα είχαμε f(x,y,z) να τείνει σε τιμή ≥118, καθώς πχ x,y τείνουν σε μια τιμή πολύ κοντά στο 0, και επομένως ,αφού f(1,1,1)=0, αν υπήρχε μικρότερη τιμή θα έπρεπε να ικανοποιεί τη συνθήκη Lagrange, αλλά αυτό δεν ισχύει. Άρα το f(1,1,1)=0 είναι το ελάχιστο.
ΑπάντησηΔιαγραφή