Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 3η

  Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+\alpha x+\beta }{(x-1)(x^2-4x+4)}}$

για την οποία ισχύει 

${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)=8}$.

I) Να δείξετε ότι $\alpha =6$ και $\beta =-7$. 

II) Να υπολογίσετε το όριο 

${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{f^2(x)-3f(x)-41+\mid f(x)-1\mid }{\sqrt{f(x)+9}-3}}}$

III) Υπολογίστε το όριο

${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}[(f(x)-8)\eta \mu {\displaystyle \frac{1}{x-1}}]}$

IV) Αν επιπλέον ισχύει $f(x)+g(x)\le 0$, κοντά στο 2, να βρείτε το όριο ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}g(x)}$.

V) Να υπολογίσετε το όριο 

${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}[{\displaystyle \frac{x^2+6x-7}{(x-1)(x^2-4x+4)}}+\eta \mu {\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}]}$