Παρασκευή 3 Σεπτεμβρίου 2021

Θετικές τιμές

Έστω $f(x)$ πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές τέτοιο ώστε  

$f(x)−2f′(x)+f′′(x)>0 $
για κάθε $x$. Να αποδειχθεί ότι 
$f(x)>0$ 
για κάθε $x$. 
Αναρτήθηκε από στις 3.9.21
Ετικέτες

2 σχόλια:

  1. vimarkoulis@gmail.com14 Σεπτεμβρίου 2021 στις 11:55 π.μ.

    e-x(f(x)-2f'(x)+f''(x))>0,άρα (e-xf(x))''>0. Αν φ(x)=e-xf(x), τότε η φ είναι κυρτή.limφ(x)=0 στο +οο(αφού f(x) πολυώνυμο).Έστω ότι f(xo)<0,άρα και φ(xo)<0, για κάποιο xo,τότε υπάρχει x1>xo:(φ(x1)-φ(xo))/(x1-xo)=a>0.Επίσης υπάρχουν x3>x2>x1 με x3-x2=1 ▐φ(x3)▐<a/2 και ▐φ(x2)▐<α/2,επομένως (φ(x3)-φ(x2))/(x3-x2)<(φ(x1)-φ(xo))/(x1-xo),άτοπο, αφού φ κυρτή.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. vimarkoulis@gmail.com14 Σεπτεμβρίου 2021 στις 12:02 μ.μ.

    (συνέχεια):Αν f(xo)=0 και xo η μεγαλύτερη ρίζα του f(x)(τα πολυώνυμα έχουν πεπερασμένο αριθμό ριζών),τότε υπάρχει x1>xo,ώστε f(x1)>0 και φ(x1)>0.Άρα η φ έχει μέγιστο σε σημείο(έστω x2)και από το κριτήριο της 2ας παραγώγου φ''(x2)≤0,άτοπο.Άρα f(x)>0 για κάθε x πραγματικό.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)