Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (9η τάξη) - Πρόβλημα 3ο

Σε οξυγώνιο τρίγωνο  φέρουμε τα ύψη  και . Έστω  το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Να αποδείξετε, ότι η απόσταση του σημείου  από την ευθεία  είναι ίση με την απόσταση του σημείου  από την ευθεία .

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι $(AO{B}^{\prime })=(BO{A}^{\prime })$ αφού έχουν βάσεις  $OA\kappa \alpha \iota OB$ ίσες. Είναι:

$2(AO{B}^{\prime })=AO\cdot A{B}^{\prime }\cdot \sin \theta =R\cdot A{B}^{\prime }\cdot {\displaystyle \frac{B{A}^{\prime }}{c}}$   και
$2(BO{A}^{\prime })=AO\cdot B{A}^{\prime }\cdot \sin \omega =AO\cdot B{A}^{\prime }\cdot \cos A$,
ή

$2(BO{A}^{\prime })=AO\cdot B{A}^{\prime }\cdot {\displaystyle \frac{A{B}^{\prime }}{c}}$.
Άρα $(AO{B}^{\prime })=(BO{A}^{\prime })$