Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017-2018 - Θέματα της 7ης τάξης για την δεύτερη φάση

1. Σχεδιάστε τέσσερεις ημιευθείες με κοινή κορυφή έτσι, ώστε σε αυτό το σχήμα να εμφανίζονται γωνίες και . Σημειώστε, ποιες ακριβώς γωνίες έχουν αυτά τα μεγέθη.

2. Η Αθηνά, ο Κώστας και ο Νίκος ήθελαν να αγοράσουν αδιάβροχα. Δυστυχώς δεν τους έφταναν τα χρήματα. Του Κώστα το ένα τρίτο της τιμής του αδιάβροχου, του Νίκου το ένα τέταρτο της τιμής του αδιάβροχου και της Αθηνάς το ένα πέμπτο της τιμής του αδιάβροχου. Όταν στις εκπτώσεις η τιμή του αδιάβροχου έπεσε κατά 9,4 ευρώ, οι φίλοι ένωσαν τις αποταμιεύσεις τους και αγόρασαν τρία αδιάβροχα, ξοδεύοντας όλα τα χρήματα. Πόσα ευρώ κόστιζε το αδιάβροχο πριν τις εκπτώσεις;

3. Ο καθένας από δεκατρείς νάνους είναι ειλικρινής, ο οποίος λέει πάντα την αλήθεια ή ψεύτης, ο οποίος λέει πάντα ψέματα. Μια φορά όλοι οι νάνοι με την σειρά έκαναν μια δήλωση «Μεταξύ των δηλώσεων, που έγιναν νωρίτερα, ψευδείς είναι ακριβώς δυο φορές περισσότερες, από τις αληθείς». Πόσοι ειλικρινείς θα μπορούσαν να υπάρχουν μεταξύ των νάνων;

4. Σε τετραγωνισμένο φύλλο χαρτί σχεδιάστηκε ένα μεγάλο τετράγωνο. Το τετράγωνο αυτό κόπηκε σε μερικά ίδια μεσαία τετράγωνα. Ένα από τα μεσαία τετράγωνα κόπηκε σε μερικά ίδια μικρά τετράγωνα. Οι πλευρές όλων των τετραγώνων βρίσκονται πάνω στις ευθείες του πλέγματος. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του μεγάλου, μεσαίου και μικρού τετραγώνου, αν το άθροισμα των εμβαδών τους είναι ίσο με 154.

5. Σε κάθε κορυφή ενός κύβου κατοικεί ένας αριθμός, όχι απαραίτητα θετικός. Όλοι οι οχτώ αριθμοί είναι διαφορετικοί. Αν ο αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των τριών αριθμών, οι οποίοι κατοικούν σε γειτονική κορυφή, τότε είναι ευτυχισμένος. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος ευτυχισμένων αριθμών που μπορεί να κατοικεί στις κορυφές του ενός κύβου;

Πηγή