Από μια τεράστια πίτσα θα πάρουν από ένα κομμάτι 100 άτομα. Ο πρώτος θα πάρει το 1% της πίτσας, ο δεύτερος θα πάρει το 2% της υπόλοιπης πίτσας, ο τρίτος το 3% του υπολοίπου και ούτω καθεξής.
Ο τελευταίος παίρνει το 100% του τελευταίου τμήματος. Ποιος θα πάρει το μεγαλύτερο κομμάτι;
Έστω Κ(ν) το κλάσμα της πίτσας που θα πάρει το άτομο ν, για ν από 1 έως 100. Έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφήΚ(ν) = ν/100*(100/100)*(99/100)*(98/100)*...*[(100-ν+1)/100] = ν*100!/[(100-ν)!*(100^(ν+1)] και
Κ(ν+1) = (ν+1)*100!/[(100-ν-1)!*(100^(ν+2)]
Για να είναι Κ(ν+1) > Κ(ν) πρέπει:
(ν+1)*100!/[(100-ν-1)!*(100^(ν+2)] > ν*100!/[(100-ν)!*(100^(ν+1)] => 100 > ν+ν^2 => 10>ν
(διαφορετικά η σχέση των κλασμάτων αντιστρέφεται)
Αυτό συνεπάγεται ότι τα κομμάτια της πίτσας που παίρνουν τα άτομα 2 έως 10 είναι αυξανόμενα (σε σύγκριση με τα κομμάτια των αμέσως προηγούμενων), ενώ τα κομμάτια που παίρνουν τα άτομα από 11 έως 100 είναι μειούμενα. Επομένως το μεγαλύτερο κομμάτι της πίτσας θα το πάρει το άτομο 10.
Ευχαριστώ Γιώργη, έτσι ακριβώς, ωραιότατη (και καθόλου μπακάλικη) γενίκευση! Αν δηλαδή τα άτομα είναι μ στον αριθμό και παίρνουν κατά σειρά το 1/μ, το 2/μ, ..., το μ/μ του εκάστοτε υπολοίπου, τότε αντικαθιστώντας στον τύπο Κ(ν) το 100 με το ν καταλήγουμε ότι τα κομμάτια βαίνουν αυξανόμενα όσο ν(ν+1)<μ που για ακέραια ν ισοδυναμεί με ν<√μ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔιορθώνω: αντικαθιστώντας το 100 με το μ, όχι το ν.
ΑπάντησηΔιαγραφή