Με τη βοήθεια μιας αριθμομηχανής μπορείτε να ανακαλύψετε ότι η εξίσωση
$x^3 - x - 3 = 0$
έχει μία μοναδική πραγματική και ότι αυτή η ρίζα είναι μεγαλύτερη του $\sqrt[5]{13}$.
Μπορείτε όμως να αποδείξετε ότι η εικασία αυτή είναι αληθής;
V. Panfyorov
Η μοναδικότητα της ρίζας αποδεικνύεται με διαφορικό λογισμό: η παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x^3 - x - 3=0 είναι f'(x)=3x^2 - 1 με ρίζες √3/3,-√3/3 με τοπικό μέγιστο στο x=-√3/3 το (2√3/3 - 3)<0 , που ακολουθείται από τοπικό ελάχιστο που είναι προφανώς μικρότερο. Επίσης limf(x)=-oo στο -οο και +οο στο +oo.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ρ η ρίζα, άρα ισχύει ρ^3=ρ+3 και επομένως ρ^5=ρ^3 3ρ^2=ρ+3+3ρ^2=3ρ^2 + ρ + 3. Αρκεί να δείξουμε ότι 3ρ^2 + ρ + 3>13(οπότε θα ισχύει και ρ>fifthroot(13)). Επομένως η ανισότητα 3ρ^2 + ρ - 10>0 οδηγεί στις ανισότητες ρ<-2 ή ρ>5/3. Επειδή (5/3)^3 - 5/3 - 3=125/27 - 14/3=(125-126)/27=-1/27<0, ρ>5/3 και επομένως ισχύει η αρχική ανισότητα.