Έστω πεντάγωνο $ABCDE$ εγγεγραμμένο σε κύκλο τέτοιο ώστε $AB = BC$ και $CD = DE$.
Αν
$P = AD ∩ BE$
$Q = AC ∩ BD$
$R = BD ∩ CE$
να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $PQR$ είναι ισοσκελές.
Harvard-MIT Mathematics Tournament 2008
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Tο τετράπλευρο $EDRP$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
ΑπάντησηΔιαγραφήδιότι $\angle PER \equiv \angle BEC=\angle ADB$ $\equiv \angle PDR$, οπότε:
$\angle PRE=\angle PDE \equiv \angle ADE= \angle ACE \Rightarrow$ $ \boxed{PR//QC}\ (1)$
Ομοίως και το τετράπλευρο $APQB$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο,
αφού $\angle PAQ \equiv \angle DAC= \angle EBD \equiv \angle PBQ$, οπότε:
$\angle AQP=\angle ABP$ $ \equiv \angle ABE=$ $\angle ACE \Rightarrow $ $\boxed{PQ//RC}\ (2)$
Από $(1)$ και $(2)$ έχουμε ότι το $PRCQ$ είναι παραλληλόγραμμο.
Αρκεί να δείξουμε ότι είναι ρόμβος.
$\angle RQC=$ τόξο $(AB+CD)/2 =$ τόξο $(BC+ED)/2 =$ $\angle QRC$
και το ζητούμενο έπεται άμεσα.