Σε ένα φύλλο χαρτί χύθηκε μελάνι. Μετρήσαμε, για κάθε σημείο της κηλίδας, τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη απόσταση του σημείου από το σύνορο της κηλίδας.
'Εστω $r$ η μέγιστη από τις μικρότερες αποστάσεις και $R$ η ελάχιστη από τις μεγαλύτερες. Ποια είναι η μορφή της κηλίδας, αν $r = R$;
Ομολογώ ότι το θέμα της ανάρτησης είναι ένα από τα ωραιότερα που έχω συναντήσει (στο Quantum, αν θυμάμαι καλά), αν και η επιλογή των γραμμάτων r και R προϊδεάζει ήδη για τη μορφή της κηλίδας. Θα προσπαθήσω τουλάχιστον να δώσω την απόδειξη, για να το σιγουρέψουμε αν μη τι άλλο:-).
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω Α το σημείο της κηλίδας που έχει τη μέγιστη r από τις μικρότερες αποστάσεις. Αν με κέντρο το Α και ακτίνα r γράψω έναν κύκλο, ο κύκλος αυτός θα περιέχεται εξ ολοκλήρου στην κηλίδα, διότι αν υπήρχε σημείο του συνόρου της στο εσωτερικό του κύκλου, τότε η μικρότερη απόσταση του Α από το σύνορο θα ήταν μικρότερη από r.
Αντιστοίχως, αν Β είναι το σημείο της κηλίδας που έχει την ελάχιστη R από τις μεγαλύτερες αποστάσεις, γράφοντας με κέντρο το Β και ακτίνα R έναν κύκλο, ο κύκλος αυτός θα περιέχει εξ ολοκλήρου την κηλίδα, διότι αν υπήρχε σημείο του συνόρου της στο εξωτερικό του κύκλου, τότε η μεγαλύτερη απόσταση του Β από το σύνορο θα ήταν μεγαλύτερη από R.
Έτσι, ο κύκλος (Α,r) περιέχεται εξ ολοκλήρου στην κηλίδα, η οποία με τη σειρά της περιέχεται εξ ολοκλήρου στον κύκλο (Β,R), άρα ο κύκλος (Α,r) περιέχεται εξ ολοκλήρου στον κύκλο (Β,R). Για να συμβεί όμως αυτό, δεδομένου ότι r=R, θα πρέπει οι δύο κύκλοι να έχουν το ίδιο κέντρο και να ταυτίζονται σε έναν, ο οποίος ταυτίζεται με την κηλίδα. Άρα η κηλίδα μπορεί να έχει κυκλική και μόνο μορφή ακτίνας r=R.