Junior Balkan Mathematical Olympiad 2016

Το 1o πρόβλημα προτάθηκε από τη Βουλγαρία, το 2o πρόβλημα από τη Βοσνία και τα προβλήματα 3o και 4o από τον Σιλουανό Μπραζιτίκο.

Πρόβλημα 1ο

Δίνεται ένα περιγράψιμο τραπέζιο με και . Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το έκκεντρο του τραπεζίου ανήκει στην ευθεία .

Πρόβλημα 2ο

Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , και . Να αποδείξετε ότι 

Πρόβλημα 3ο

Να βρείτε όλες τις τριάδες ακεραίων για τις οποίες ο αριθμός 

είναι δύναμη του .

(Δύναμη του είναι ένας ακέραιος αριθμός της μορφής , όπου είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος.)

Πρόβλημα 4ο

Μία τετραγωνική διάταξη καλείται κανονική αν κάθε κελί της περιέχει ακριβώς έναν από τέσσερεις διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς και κάθε αριθμός εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε οποιαδήποτε τετραγωνική διάταξή της.

Το άθροισμα όλων των αριθμών μιας κανονικής τετραγωνικής διάταξης καλείται 

ολικό άθροισμα. Για οποιουσδήποτε τέσσερεις πραγματικούς αριθμούς, κατασκευάζουμε όλες τις δυνατές τετραγωνικές διατάξεις, υπολογίζουμε τα ολικά αθροίσματά τους και καταγράφουμε τον αριθμό των διακεκριμένων ολικών αθροισμάτων. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του αριθμού αυτού.

Πηγή