Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα 2015 - Μικρή Λίστα (Άλγεβρα)

Α1. Για την ακολουθία των θετικών πραγματικών ισχύει ότι:

   

για κάθε θετικό ακέραιο .

Να αποδείξετε ότι 

 

για κάθε . 

A2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την 

 

για κάθε .

A3. Σταθεροποιούμε έναν θετικό ακέραιο . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του 

, 

όπου για κάθε .

A4. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την 

 

για όλους τους πραγματικούς και .

Α5. Με συμβολίζουμε το σύνολο των περιττών ακεραίων. 

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις

   

που είναι τέτοιες ώστε 

 

για κάθε . 

A6. Σταθεροποιούμε έναν ακέραιο . Θα λέμε ότι δύο πολυώνυμα και με πραγματικούς συντελεστές είναι όμοια αν για κάθε οι ακολουθίες

 

και

   

είναι μετάθεση η μία της άλλης. 

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού που είναι όμοια.

β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού που είναι όμοια.
Πηγή