Τέλειοι αριθμοί

Οι αριθμοί, χαρακτηρίζονται ανάλογα με τις ιδιότητες τους πρώτοι, σύνθετοι, ρητοί, άρρητοι, τρίγωνοι, τετράγωνοι, φίλοι, τέλειοι κ.ά.
Στα στοιχεία του Ευκλείδη τέλειος είναι ο αριθμός που είναι ίσος προς τα μέρη του δηλαδή ο φυσικός αριθμός που είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του (χωρίς τον εαυτό του στους διαιρέτες). 

Παράδειγμα οι $1,2,3$ είναι διαιρέτες του $6$ με $1+2+3=6$ άρα ο $6$ είναι τέλειος. Το ίδιο και ο $28=1+2+4+7+14$ (Σε $6$ μέρες δημιουργήθηκε ο κόσμος, σε $28$ η σελήνη κάνει κύκλο γύρω από τη Γη). Μην ψάξετε δεν θα βρείτε εύκολα άλλους, οι επόμενοι είναι $496$ και $8128$.
Προσέξτε τα ψηφία τους, ο $6$ έχει ένα ψηφίο, ο $28$ έχει δύο, ο $496$ τρία, ο $8128$ τέσσερα, είναι άρτιοι, τελειώνουν εναλλάξ σε 6 ή 8, όμως δεν ξέρουμε αν ισχύει αυτό για όλους. 

Η μόνη γνωστή μέθοδος για την εύρεση τέλειων αριθμών είναι στα στοιχεία του Ευκλείδη. 

Παίρνουμε όρους από την γεωμετρική πρόοδο $1,2,4,8,16,...$ αν το άθροισμα ενός ορισμένου πλήθους είναι πρώτος αριθμός τότε το γινόμενο του αθροίσματος αυτού επί τον τελευταίο αριθμό δίνουν γινόμενο τέλειο αριθμό. 

Παράδειγμα $1+2+4+8+16=31$ το $31$ είναι πρώτος, άρα $31·16=496$ τέλειος. Μπορούμε να γράψουμε τον τύπο που τους γεννάει: 

${\rm T}=2^{\nu -1}(2^{\nu }-1)$, όπου ν=πρώτος. 

Ερώτηση: Ποιός είναι ο επόμενος τέλειος; Έχει $5$ ψηφία; Υπάρχει άραγε περιττός τέλειος αριθμός;

Απάντηση: 

Ο επόμενος τέλειος δεν έχει $5$ ψηφία είναι ο $33550336$. 

Εικάζεται ότι δεν υπάρχει τέλειος περιττός. 

Ο ισχυρισμός του Euler είναι αν υπάρχει, θα είναι της μορφής $p^{4k+1}{x}^2$ , όπου $p=4\lambda +1$ και $\chi$ = περιττός διαιρούμενος δια του $\rho$. Μέχρι σήμερα όμως, δεν έχει αποδειχθεί.
Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄»

List of perfect numbers