Γεωμετρία Α΄ Λυκείου - Επαναληπτικές ασκήσεις

1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma ({\rm A}{\rm B}={\rm A}\Gamma )$ με $\mathrm{\angle }A={108}^0$ και η διχοτόμος του $\Gamma \Delta$. Από το σημείο $\Delta$ φέρνουμε την κάθετη στην διχοτόμο $\Gamma \Delta$ που τέμνει την ${\rm B}\Gamma$ στο σημείο ${\rm E}$ και την προέκταση της $\Gamma {\rm A}$ στο σημείο ${\rm Z}$. Να αποδείξετε ότι:

α. Το τρίγωνο ${\rm Z}{\rm E}\Gamma$ είναι ισοσκελές

β. Το τρίγωνο ${\rm B}{\rm E}\Delta$ είναι ισοσκελές.

γ. ${\rm B}{\rm E}=\Delta {\rm A}$.

2. Δίνεται τραπέζιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με ${\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta$. Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών ${\rm A}$ και $\Delta$ τέμνονται στο σημείο ${\rm H}$ και οι εξωτερικές στο σημείο ${\rm E}$. Επιπλέον οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών ${\rm B}$ και $\Gamma$ τέμνονται στο ${\rm Z}$.

α. Να δείξετε ότι η γωνία ${\rm A}{\rm E}\Delta$ είναι ορθή.

β. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm E}\Delta {\rm H}$ είναι ορθογώνιο.

γ. Να υπολογίσετε την ${\rm E}{\rm Z}$ ως συνάρτηση της περιμέτρου α του τραπεζίου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$.

3. Δίνεται τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και $\Delta$ τυχαίο σημείο της ${\rm B}\Gamma$. Έστω $\Delta {\rm K}=//{\rm B}{\rm A}$ και $\Delta \Lambda =//\Gamma {\rm A}$.

Αν οι $\Delta {\rm K},\Delta \Lambda$ τέμνουν τις ${\rm A}\Gamma ,{\rm A}{\rm B}$ στα ${\rm Z},{\rm E}$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι:

i. Τα ${\rm K},{\rm A},\Lambda$ είναι συνευθειακά.

ii. Τα τρίγωνα $\Lambda {\rm A}{\rm E},\Gamma \Delta {\rm Z}$ είναι ίσα.

iii. Οι $\Gamma \Lambda ,{\rm A}\Delta ,{\rm K}{\rm B}$ και ${\rm E}{\rm Z}$ συντρέχουν.

4. Δίνεται τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, το ύψος του ${\rm A}\Delta$. Αν η διχοτόμος του ${\rm B}{\rm E}$, τέμνει την ${\rm A}\Delta$ στο ${\rm Z}$ και η κάθετη από το ${\rm Z}$ στην ${\rm A}{\rm B}$ τέμνει την ${\rm B}\Gamma$ στο $\Lambda$, να δείξετε ότι:

i. Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm K}{\rm Z}$ και $\Lambda \Delta {\rm Z}$ είναι ίσα.

ii. Η ${\rm B}{\rm Z}$είναι κάθετη στη ${\rm A}\Lambda$.

iii. Η ${\rm Z}{\rm M}$ είναι διχοτόμος της $angle{\rm A}{\rm Z}\Lambda$.

5. Δίνεται ορθογώνιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$. Η κάθετος από το ${\rm A}$ στην ${\rm B}\Delta$ τέμνει τις ${\rm B}\Delta$ και $\Gamma \Delta$ στα ${\rm E},{\rm Z}$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

i. Το ${\rm E}{\rm Z}\Gamma {\rm B}$ είναι εγγράψιμο.

ii. Αν ο περιγεγραμμένος κύκλος στο ${\rm E}{\rm Z}\Gamma {\rm B}$ τέμνει την ${\rm A}{\rm B}$ στο ${\rm H}$ τότε ${\rm H}{\rm B}={\rm Z}\Gamma$.

iii. $\Delta {\rm H}={\rm A}{\rm Z}$.

6. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με $\mathrm{\angle }A={120}^0$.Θεωρούμε τα σημεία $\Delta ,{\rm E}$ επί της ${\rm B}\Gamma$ τέτοια ώστε ${\rm B}\Delta =\Delta {\rm E}={\rm E}\Gamma$ και το ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm A}{\rm Z}\Gamma$ με τα ${\rm A},{\rm Z}$ εκατέρωθεν της ${\rm B}\Gamma$. Να δείξετε ότι:

i. Το τρίγωνο ${\rm A}\Delta {\rm E}$ είναι ισοσκελές.

ii. Το ${\rm E}$ είναι κέντρο βάρους του ${\rm A}\Gamma {\rm Z}$.

iii. Το τρίγωνο ${\rm A}\Delta {\rm E}$ είναι ισόπλευρο.

Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄» τ. 92