Κόκκινο ή μαύρο

To εμβαδόν της κόκκινης ή της μαύρης επιφάνειας είναι μεγαλύτερο;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Λύση (Νίκος Φραγκάκης (Doloros) - 2^ο Γ.Ε.Λ. Ιεράπετρας)

Αρκεί να συγκρίνουμε τα μισά των ζητούμενων επιφανειών. Ας είναι $r=1$ η ακτίνα των μικρών κύκλων, άρα του μεγάλου είναι $R=2$.

Ο κυκλικός τομέας  $O.AM$ έχει εμβαδόν:

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{E}}_1=\frac{1}{8}\pi \cdot 2^2=\frac{\pi }{2}}}$ 

και αν αφαιρέσουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου $BAO$ θα μείνει:

$\boxed{{\displaystyle T=\frac{\pi }{2}-1}}(1)$. 

Το εμβαδόν αυτό, $T$ εκφράζει στο σχήμα, λόγω συμμετρίας,  τη μαύρη και τη κόκκινη επιφάνεια μαζί. Η μαύρη επιφάνεια( κυκλικό τμήμα  ${90}^{\circ }$ του μικρού κύκλου) είναι:

$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{4}\pi \cdot 1^2-△(KAB)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}-1)=\frac{T}{2}}}$  

και άρα τα αρχικά εμβαδά της εκφώνησης είναι ίσα.