Η κατανοµή των πρώτων αριθµών και η Υπόθεση του Riemann

Αυτό είναι ένα από τα πιο γνωστά προβλήµατα το οποίο παραµένει άλυτο µέχρι και σήµερα. Η υπόθεση αυτή εµφανίστηκε για πρώτη ϕορά σε µία εργασία του Bernhard Riemann (1826-1866) το 1859 µε τίτλο "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe". 

Ο Riemann υπέϑεσε ότι ϑα µπορούσε να περιγράψει επακριβώς την κατανοµή των πρώτων αριθµών, αν κατάφερνε να αποδείξει την ύπαρξη µιας συγκεκριµένης ιδιότη- τας για τις ϱίζες της συνάρτησης ζήτα $\zeta (s)$, δηλαδή της 

$\zeta (s)=1+{\displaystyle \frac{1}{2^s}}+{\displaystyle \frac{1}{3^s}}+{\displaystyle \frac{1}{4^s}}+...=\sum _1^{\propto }{\displaystyle \frac{1}{n^s}}$.

Η συνάρτηση αυτή ορίζεται για όλους τους µιγαδικούς αριθµούς που είναι διαφορετικοί από το $1$. Οι τετριµένες λύσεις της συνάρτησης είναι όλοι οι άρτιοι αρνητικοί αριθµοί. Ο Riemann διατύπωσε την εικασία ότι οι µη τετριµένες λύσεις της είναι µιγαδικοί αριθµοί µε πραγµατικό µέρος ίσο µε $\dfrac{1}{2}$. Η υπόθεση αυτή έχει επαληθευτεί για περίπου 1,5 δισσεκατοµύρια ϱίζες, παρ’ όλα αυτά η τελική αυστηρή απόδειξη δεν έχει δοθεί ακόµα. Αν µπορούσε να ϐρεθεί η κατανοµή των πρώτων αριθµών, συµπληρώνει ο Hilbert, ίσως να ήµασταν σε ϑέση να αποδείξουµε αυστηρά ένα σωρό προβλήµατα. ΄Ενα από αυτά είναι η εικασία του Goldbach, κάθε άρτιος αριθµός µεγαλύτερος του 2 µπορεί να γραφεί ως άθροισµα δύο πρώτων αριθµών. Καθώς επίσης και το πρόβληµα του αν έχει η γραµµική διοφαντική εξίσωση $\alpha x+\beta y+c=0$, µε ακέραιους συντελεστές πρώτους µεταξύ τους πάντα λύση $(x,y)$, όπου $x,y$ πρώτοι αριθµοί.