Υπάρχει συνάρτηση $f: R → R$ με συνεχή παράγωγο τέτοια, ώστε
$f(x) > 0$ και $f '(x) = f(f(x))$
για κάθε $x$?
9th IMC 2002
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Οταν εχω f(f(x)) θετω οπου x το f(x) και f'(f(x))=f(f(f(x))) (1)
ΑπάντησηΔιαγραφήf'(x)=f(f(x))>0 απο υποθεση. (2)
αρα η f αυξουσα στο R
αρα και 1-1 δηλαδη υπαρχει αντιστροφος που την ονομαζω g(x) (επειδη δεν ειμαι πολυ εξοικιομενος με την τεχνολογια)
Στην (1) θετω οπου f(f(x))=f'(x) οποτε η (1) γραφεται f'(f(x))=f(f'(x)) αρα απο την συνθεση συναρτησεων η f'(x)=g(x) (η αντιστροφος).
θα βρουμε την f''(x)=f'(f(x))f'(x) >0 αρα η f(x) εχει τα κοιλα ανω στο R.
Η g(x) (αντιστροφος) και αυτη θα εχει τα κοιλα ανω.
(οσες φορες και αν παραγωγισουμε την g(x) θα εχει θετικες παραγωγους).
Αρα και η g(x) εχει τα κοιλα ανω.
ΑΤΟΠΟ ΔΙΟΤΙ ΚΑΙ Η f(x) ΚΑΙ Η g(x)ΕΧΟΥΝ ΤΑ ΚΟΙΛΑ ΑΝΩ.
γνωριζουμε οτι οι αντιστροφες ειναι συμμετρικες στην y=x .
Δεν μπορει η f(x) να εχει μορφη ευθειας διοτι θα ειχε και αρνητικες τιμες.