Έχουμε ένα δωδεκάγωνο $QWARTZSPHINX$ που έχει όλες τις πλευρές του ίσες με $2$ και οι εσωτερικές του γωνίες είναι $90^0$ ή $270^0$.
Ποιες είναι οι πιθανές τιμές για το εμβαδόν του τριγώνου $SIX$?
Harvard - MIT Math Tournament 2016
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Οι πιθανές τιμές του $(SIX)$ είναι $(2,\ 6)$
ΑπάντησηΔιαγραφήΆθροισμα γωνιών δωδεκάγωνου $12\cdot 2-4=20$ ορθές.
Αν $x,y$ οι γωνίες $90$ και $270°$ αντίστοιχα τότε:
$\begin{cases} & x+y=12\\ & x\cdot1+y\cdot3=20\end{cases}\ \ \ \Rightarrow x=8,\ \ \ y=4$
και το μόνο δυνατό σχήμα που βλέπω είναι ο “σταυρός”, πέντε τετράγωνα $2x2$, ένα στη μέση και τα άλλα τέσσερα δεξιά, αριστερά, πάνω και κάτω από το μεσαίο.
Το $S$ αν βρεθεί σε μία από τις $4$ κορυφές του μεσαίου τετραγώνου το $\triangle SIX$ έχει πλευρές $2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$ και ύψος, στην πλευρά μήκους $2$, $2$ άρα $(SIX)=2$
και αν βρεθεί στις $4$ από τις $8$ των τεσσάρων τετραγώνων το $\triangle SIX$ είναι ισοσκελές πλευρών $2\sqrt{5},2\sqrt{5},2\sqrt{2}\Rightarrow $ $(SIX)=6$
και αν βρεθεί στις άλλες $4$ από τις $8$ το $\triangle SIX$ θα έχει πλευρές $2\sqrt{5},2\sqrt{2},6$ και ύψος, στην πλευρά μήκους $6$, $2$, άρα πάλι $(SIX)=6$