$a= x\sqrt{2}$

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο. Με κέντρο την κορυφή $C$ και ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου γράφουμε ένα τεταρτοκύκλιο.

Με διάμετρο την πλευρά $AB$ γράφουμε ένα ημικύκλιο. Να αποδειχθεί ότι 

$a= x\sqrt{2}$.

Δείτε τη λύση του αγαπητού φίλου Νίκου Φραγκάκη (Doloros) από το 2ο ΓΕΛ Ιεράπετρας:

Ας είναι $K$ το κέντρο του ημικυκλίου και $M$ η τομή των ευθειών $DP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$. Από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $DKC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AMD$ , προκύπτει ότι το $M$ είναι μέσο του $AB$. 

Αν τώρα $S$ η προβολή του $B$ στην ευθεία $SP$ προφανώς το τετράπλευρο $APBS$ είναι παραλληλόγραμμο. Επειδή στο τεταρτοκύκλιο με κέντρο το $C$ και για κάθε του σημείο $P$ είναι $\widehat {DPB} = 135^\circ $, θα είναι $\widehat {BPS} = 45^\circ $ και άρα τα ορθογώνια τρίγωνα $SPB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PSA$ είναι και ισοσκελή, οπότε $a = x\sqrt 2 $.

Ιεράπετρα 13/2/2016
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com