a=x2

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο. Με κέντρο την κορυφή $C$ και ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου γράφουμε ένα τεταρτοκύκλιο.

Με διάμετρο την πλευρά $AB$ γράφουμε ένα ημικύκλιο. Να αποδειχθεί ότι 

$a=x\sqrt{2}$.

Δείτε τη λύση του αγαπητού φίλου Νίκου Φραγκάκη (Doloros) από το 2ο ΓΕΛ Ιεράπετρας:

Ας είναι $K$ το κέντρο του ημικυκλίου και $M$ η τομή των ευθειών $DP\kappa \alpha \iota AB$. Από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $DKC\kappa \alpha \iota AMD$ , προκύπτει ότι το $M$ είναι μέσο του $AB$. 

Αν τώρα $S$ η προβολή του $B$ στην ευθεία $SP$ προφανώς το τετράπλευρο $APBS$ είναι παραλληλόγραμμο. Επειδή στο τεταρτοκύκλιο με κέντρο το $C$ και για κάθε του σημείο $P$ είναι $\widehat{DPB}={135}^{\circ }$, θα είναι $\widehat{BPS}={45}^{\circ }$ και άρα τα ορθογώνια τρίγωνα $SPB\kappa \alpha \iota PSA$ είναι και ισοσκελή, οπότε $a=x\sqrt{2}$.

Ιεράπετρα 13/2/2016
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com